Реферат на тему Любая тема по предмету «Численные методы»

Содержание:

Введение 3
1. Численое решение нелинейных уравнений 4
1.1. Постановка задачи 4
1.2. Отделение корней 5
1.2.1. Метод половинного деления 5
1.2.2. Графическое отделение корней 6
1.3. Итерационные методы уточнения корней 7
1.3.1. Метод простой итерации 7
1.3.2. Метод Ньютона 9
1.3.3. Метод секущих 11
1.3.4. Метод хорд 12
2. Решение систем нелинейных уравнений 14
2.1. Постановка задачи 14
2.2. Метод простой итерации 14
2.2.1. Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка 15
2.2.2. Общий случай построения итерирующих функций 17
2.3. Метод Ньютона для систем двух уравнений 17
2.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными 18
Заключение. 20
Список использованных источников 21

Введение:

Вычислительная техника надежно вошла практически во все сферы общественной жизни, науки и производства. Изначально вычислительные машины (отсюда и их название) разрабатывались для произведения сложных математических вычислений. Поэтому вычислительная математика применительно к вычислительной технике считается одной из старейших наук.
Однако. Вычислительные методы начали разрабатываться задолго до становления эры ЭВМ. Крамер, Гаусс, Зейдель, Ньютон – вот далеко не полный перечень выдающихся математиков, работавших в сфере вычислительной математики.
Истоки вычислительной математики кроются в том, что, во-первых, далеко не все задачи математики можно решить аналитически, а во-вторых, иногда это просто не целесообразно, т.к. полученное аналитическое выражение трудно проанализировать, хотя затрачено очень много труда и времени.
Целью настоящей работы является рассмотрение некоторых методов решения нелинейных уравнений и их систем.

Заключение:

Численные методы решения нелинейных у равнений и их систем имеют широкое распространение в среде вычислительной математики.
В зависимости от информации, требуемой для построения итерирующих функций они разделяются на одношаговые и многошаговые.
Численные методы нахождения корней нелинейных уравнений и их систем разделяются также методы, использующие производные, и методы, не использующие производные.
Одной из главных задач в выборе численного алгоритма, является решение задачи устойчивости или сходимости. Она зависит от правильного выбора аппроксимирующих функций и начального приближения.
Наибольшей скоростью сходимости обладает метод Ньютона, зато наиболее устойчивым является метод половинного деления.
Метод простой итерации можно назвать прообразом многих численных методов, в том числе и метода Ньютона. Он является наиболее простым в вычислительном плане, однако требует очень тщательной проработки при постановке задачи.

Фрагмент текста работы:

Численное решение нелинейных уравнений
1.1. Постановка задачи
При решении многих математических и практических задач возникает необходимость найти корни нелинейного уравнения вида:
f(x) = 0 . (1)
Хорошо, если это уравнение простого вида и для него есть приемлемые формулы решения! А если это уравнение, например, трансцендентно и не имеет аналитического решения вообще!
Итак, нелинейные уравнения можно разделить на алгебраические и трансцендентные, которые кроме алгебраических функций содержат, например, логарифм или экспоненту.
Для простых уравнений можно применить прямые методы, позволяющие записать корни в виде некоторых конечных соотношений. В остальных случаях для нахождения корней прибегают к итерационным методам, которые от шага к шагу приближают нас к решению, хотя практики никогда мы не можем получить точного решения. Т.е. итерационные методы (и мы идем на это умышленно!) получают решение с какой-то, заранее заданной точностью.
Таким образом, решение уравнений (1) при этом осуществляется в два этапа:
1) определение местоположения, характера интересующего нас корня и выбор его начального значения;
2) вычисление корня с заданной точностью , посредством выбранного какого-либо вычислительного алгоритма.
На первом этапе обычно определяется некоторая область. Содержащая корень, а на втором используются некие итерационные методы, в основе которых лежит рекурсия вида:
(2)
Однако, не для всякого уравнения и не для всякого итерационного метода возможно построить такую сходящуюся последовательность. Здесь необходимо проверять условия сходимости и, возможно, подыскивать или строить другую функцию . При этом если при нахождении значения xn  xk  x*, используется одно предыдущее значение m=1, то такой метод называется одношаговым. Если используется m предыдущих значений, то метод называется m-шаговым и, как правило, с увеличением m вычислительные алгоритмы усложняются.