Курсовая с практикой на тему Теорема Чебышева. Распределение простых чисел в натуральном ряду

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Основные теоретические факты о простых числах 5

1.1. Биография Чебышева 5

1.2.История простых чисел 8

1.3. Природа простых чисел 10

1.4. Закон распределения простых чисел 14

1.5. Полное доказательство теоремы 17

1.6. Значение теоремы Чебышева для практики 21

2. Принцип распределения простых чисел в натуральном ряду 24

2.1. Практическое применение 24

2.2 Примеры задач 28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 32

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 34

Введение:

Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя – единицу и самого себя. Такие числа представляют огромный интерес. Дело в том, что никто так и не смог полностью понять и описать закономерность по которой простые числа располагаются в ряду натуральных чисел.

Ещё до нашей эры Евклид сформулировал и доказал первые теоремы о простых числах. С тех пор математики, среди них Гаусс, Ферма, Риман, Эйлер, продолжали исследования и надо отдать им должное заметно продвинулись. Было обнаружено много интересных свойств простых чисел, выдвинуто много предположений, некоторые из которых были доказаны. Однако много гипотез связанных с простыми числами до сих пор остаются необоснованными.

Простые числа – это ключ к разрешению многих математических проблем, они также играют большую роль в криптографии (шифровании), благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. С тех пор ученые постепенно продвигались вперед, а в последние десятилетия им на помощь в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры. Математики, а позже и специалисты по компьютерному программированию разработали много способов решения этой проблемы, однако все они несут небольшую потенциальную возможность ошибки.

Многочисленные научные труды почти во всех областях математики и прикладной механики, труды, глубокие по содержанию и яркие по своеобразию методов исследования, создали П. Л. Чебышеву славу одного из величайших представителей математической мысли. Огромное богатство идей разбросано в этих работах, и, несмотря на то, что пятьдесят лет прошло со дня смерти их творца, они не потеряли ни своей свежести, ни актуальности, и их дальнейшее развитие продолжается в настоящее время во всех странах земного шара, где только бьётся пульс творческой математической мысли.

В научном наследии Чебышёва насчитывается более 80 работ. Оно оказало огромное влияние на развитие математики, в особенности на формирование Петербургской математической школы. Для работ Чебышёва характерны тесная связь с практикой, широкий охват научных проблем, строгость изложения, экономичность математических средств, для достижении крупных результатов. Математические достижения Чебышёва в основном получены в следующих областях: теория чисел, теория вероятностей, проблема наилучшего приближения функций и общая теория полиномов, теория интегрирования функций.

Исследования Чебышева относятся к теории приближения функций многочленами, интегральному исчислению, теории, чисел, теории вероятностей, теории механизмов и многим др. разделам математики и смежных областей знания. Чебышев создал ряд основных, общих методов и выдвинул идеи, наметившие ведущие направления в этих областях науки, их дальнейшем развитии. Он стремился увязать проблемы математики с принципиальными вопросами развития естествознания и техники, оставив многочисленные работы в области математического анализа, теории машин и механизмов и др.

В данной работе поставленная цель: доказать, что простые числа играют большую роль в математике.

Объектом исследования являются простые числа.

Задачи для этой работы следующие:

1. Показать способы нахождения простых чисел.

2. Назвать имена математиков, связанных с историей открытия простых чисел.

3. Рассмотреть задачи с использованием простых чисел.

Заключение:

Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эратосфен, Сунтарам предложили первые алгоритмы тестирования чисел на простоту. Эйлер, Ферма, Лежандр и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел.

На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана.

Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

Первый существенный вклад в решение проблем, связанных с распределением простых чисел, внес П.Л. Чебышев. Из его двух знаменитых мемуаров 1848 и 1852 годов берут своё начало «элементарные методы» теории распределения простых чисел, т.е. методы, не использующие теорию функций комплексного переменного и др.

Конкретных примеров применения теоремы Чебышева в реальной жизни огромное количество:

1. Проведение измерений: при достаточно большом количестве измерений, например, напряжения в сети, можно получить значение, сколько угодно близкое к истинному.

2. Проверка качества. Нет необходимости, например, проверять всю партию однообразных товаров, а достаточно выборочной проверки.

3. Страхование. Рассматривая величину страхового взноса, страховщик обладает определенной информацией о вероятности наступления страховых случаев и возможных потерях клиента от них. По теореме Чебышева найдя среднее арифметическое от этих убытков, страховщик может определить идеальную величину страхового взноса: выгодную для него и привлекательную для клиента.

4. Финансовые рынки. Проведение большого числа финансовых операций с известной средней ожидаемой доходностью лежит в основе диверсификации рисков.

Фрагмент текста работы:

1. Основные теоретические факты о простых числах

1.1. Биография Чебышева

Пафнутий Львович Чебышев (произносится как «Чебышёв»[1]) (4 (16 мая) 1821, Окатово, Калужская губерния — 26 ноября (8 декабря) 1894, Санкт-Петербург) — русский математик и механик.

Основатель первой в России петербургской математической школы Пафнутий Чебышев большую часть жизни провёл в городе на Неве. Однако его становление как учёного произошло в Московском университете.

Пафнутий Львович Чебышев — великий русский математик и механик, родился в дворянской семье в селе Окатово Боровского уезда Калужской губернии. Получив домашнее образование, он в 1837 году поступил в Московский университет, с отличием окончил его в 1841 году, а в 1847 году переехал в Петербург, где в 1849 году защитил докторскую диссертацию.

Еще в 1841 году за работу «Вычисление корней уравнений» по теме, предложенной факультетом в Московском университете, Чебышев награждается серебряной медалью, а его докторская диссертация «Теория сравнений» удостоена специальной премии Петербургской Академии наук.В 1859 году Пафнутий Львович избирается академиком Петербургской Академии наук.

Научные достижения П. Л. Чебышева нашли широкое признание и были высоко оценены еще при жизни ученого. Он был членом Берлинской и Болонской академий и одним из восьми иностранных членов Парижской Академии наук. Пафнутий Львович был избран членом-корреспондентом Лондонского Королевского общества, Шведской Академии наук и почетным членом многих других российских и иностранных научных обществ и академий.