Курсовая с практикой на тему Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории
-
Оформление работы
-
Список литературы по ГОСТу
-
Соответствие методическим рекомендациям
-
И еще 16 требований ГОСТа,которые мы проверили
Введи почту и скачай архив со всеми файлами
Ссылку для скачивания пришлем
на указанный адрес электронной почты
Содержание:
§ 1. Общее представление об
аксиоматических теориях
§ 2. Проблема разрешимости
аксиоматических теорий
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Введение:
Понятия алгоритма и
аксиоматической системы имеют давнюю историю. И то и другое известно ещё со
времён античности. Достаточно вспомнить постулаты геометрии Евклида и алгоритм нахождения наибольшего общего делителя того
же Евклида.
Несмотря на это, чёткого
математического определения исчисления и особенно алгоритма не существовало
очень долгое время. Особенность проблемы, связанной с формальным определением
неразрешимости состояла в том, что для того, чтобы показать, что некоторый
алгоритм существует, достаточно его просто найти и продемонстрировать. Если же
алгоритм не находится, возможно его не существует и это тогда требуется строго
доказать. А для этого нужно точно знать, что такое алгоритм[14, c. 52].
Большой прогресс в
формализации этих понятий был достигнут в начале XX века Гильбертом и его школой. Тогда, сначала,
сформировались понятия исчисления и формального вывода, а затем Гильбертом же,
в его знаменитой программе обоснования математики была
поставлена амбициозная цель формализации всей математики. Программа
предусматривала, в том числе, возможность автоматической проверки любой
математической формулы на предмет истинности. Тогда была поставлена проблема
разрешимости теорий, которая остается актуальной и по сей день[15, c. 108].
Целью данной курсовой
работы является рассмотрение разрешимых и неразрешимых аксиоматических теорий.
К задача данной курсовой
работы относятся:
— приведение общих
сведений об аксиоматических теориях;
— рассмотрение проблемы
разрешимости теорий;
— приведение примеров
разрешимых и неразрешимых аксиоматических теорий.
Структура курсовой работы
состоит из введения, трех параграфов, заключения и списка используемой
литературы.
Во введение обоснована
актуальность рассматриваемой темы курсовой работы.
Сформулирована цель
курсовой работы и задачи, которые следует раскрыть при написании данной работы.
Первый параграф посвящен
определению и классификации аксиоматических теорий. В частности, в параграфе
дается определение аксиомы, теоремы и доказательства, как ключевых понятий при
рассмотрении аксиоматических теорий.
Также рассматривается
классификация аксиоматических теорий, которая условно делит их на две группы –
формальные и неформальные аксиоматические теории.
Второй параграф носит
аналитический характер. В нем рассматривается проблема разрешимости
аксиоматических теорий, как один их актуальных вопросов современной математики.
В параграфе определяются
основные способы формулирования проблемы разрешимости аксиоматических теорий,
приводится теорема об эквивалентности проблем доказуемости, общезначимости и
выполнимости, с доказательством.
Третий параграф курсовой
работы имеет практическую направленность.
В нем приводятся примеры
разрешимых и неразрешимых
Заключение:
Аксиоматической теорией
называется система, состоящая из двух
множеств высказываний (формул) R
и
L,
таких что 
является подмножеством R.
К
основным свойствам аксиоматических теорий относят непротиворечивость и полноту.
Под
непротиворечивостью теории понимают отсутствие возможности вывода в данной
теории некоторой формулы или ее отрицания.
Под
полнотой теории понимают наличие возможности вывода для любой формулы или ее
отрицания.
Под алгоритмом в данной
курсовой работt
будем понимать некую программу, которая написала на некотором языке
программирования и выполняется на какой-то ЭВМ.
Формальная
теория называется разрешимой, если для данной теории существует алгоритм,
которые решает любую их трех эквивалентных проблем (доказуемости,
общезначности, выполнимости) и неразрешимой, если такого алгоритма не
существует.
В
практической части были приведены примеры разрешимых и неразрешимых проблем в различных
аксиоматических теориях.
В
частности, можно отметить, что большое количество неразрешимых проблем
присутствует в теории машин Тьюринга, это связано с тем, что существует
множество способов задания алгоритмов работы машин Тьюринга.
Разрешимые
проблемы были рассмотрены на примеры теории формального языка, в частности, его
грамматик.
Таким
образом, цель курсовой работы достигнута, все задачи выполнены.
Фрагмент текста работы:
§ 1. Общее представление
об аксиоматических теориях
История математики знает
два пути, по которым происходило становление известных аксиоматических теорий в
математике.
Первый
из этих путей заключается в том, что математическая теория, которая в определенный
момент времени, достигает достаточно высокого уровня, превращается в
аксиоматическую теорию, принимает ее характер.
На
основании данного подхода к аксиоматическим теориями стали относится следующие
теории:
—
арифметика Ж.Пиано;
—
Гильбертова геометрия, а также геометрии Г. Вейля, М. Пиери и т.д.;
—
теория вероятностей (А.Н. Колмогоров) и др.
Второй
путь становление математической теории как аксиоматической, заключался в том,
что среди нескольких математических теорий обнаруживались общие черты, что
приводило исследователей к мысли о создании аксиоматических теории, в основе
которых могли бы быть положены эти самые «общие» черты.
Следует
отметить, что большинство известных аксиоматических теорий возникли, благодаря
второму подходу к построению.
К
таким теориям относятся:
—
теория групп;
—
теория колец;
—
теория полей и других алгебраических систем;
—
общая (универсальная) алгебра и т.д.
Второй
подход предоставляет широчайшие возможности к метапредметным взаимодействиям
между математическими науками. Помимо этого, данный подход позволяет приводить
более общую интерпретацию основополагающих понятий, что отрывает еще более
широкие перспективы для развития и становления математики как науки.
