Курсовая с практикой на тему Результант и дискриминант

Содержание:

Введение 2
1. Дискриминант многочлена, его понятие 3
2. Результант многочленов 4
2.1 Понятие результанта многочленов 4
2.2. Результант как симметричная форма корней 7
2.3. Связь между результантом и дискриминантов многочленов 10
3. Практическое применение результанта и дискриминанта многочленов 12
Заключение 19
Список использованной литературы 20

Введение:

Теория многочленов является одним из важнейших разделов алгебры.
Основным вопросом в теории многочленов является вопрос о существовании корней, а также вопрос о существовании общих корней двух многочленов[3, c. 125]. Данный вопрос актуален тем, что не всегда многочлены над полем действительных чисел имеют действительные корни, а также, если необходимо знать корни уравнения, которое нельзя или достаточно трудно решить «в лоб».
Для этих целей в алгебре широкое применение имеют понятия дискриминанта и результанта, первых из которых позволяет определить имеет ли многочлен корни, а также какие корни (если рассматриваются поля действительных и комплексных чисел); второй – позволяет, не находя корни двух многочленов, определить их общие корни.
Целью курсовой работы является рассмотрение понятий результанта и дискриминанта многочленов.
В соответствии с поставленной целью, курсовая работа имеет следующие задачи:
— определение понятия детерминант многочлена;
— определение понятия результант многочлена;
— рассмотрение особенностей результанта как симметричной формы корней;
— определение связи между дискриминантом и результантом;
— решение примеров.

Заключение:

Дискриминант многочлена f(x), который имеет корни α_1,α_(2,)…,α_k определяется по следующей формуле:

D=a_0^(2k-2) ∏_(k≥i≥j≥1)▒〖(α_(i )-α_(j ))〗^2

Дискриминант является симметричным относительно корней α_1,α_(2,)…,α_k и может быть выражен через коэффициенты многочлена f(x).
Под результантом двух многочленов f(x) и g(x) понимается целая рациональная форма следующего вида:

R=|■(a_0&a_1&■(…&a_n&■(0&…&0))@0&a_0&■(a_1&…&■(a_n&0&0))@■(…@0@■(b_0@0@■(…@0)))&■(…@…@■(b_1@b_0@■(…@…)))&■(■(…@0@■(…@…@■(b_1@■(…@0))))&■(…@a_0@■(b_n@…@■(…@b_0 )))&■(■(…&…&…)@■(a_1&…&a_n )@■(■(0&…&0)@■(b_m&0&0)@■(■(…&…&…)@■(b_1&…&b_m ))))))|

При этом результант можно представить через оба многочлена в следующих формах: S=a_0^m ∏_i▒〖g(x_i ) и 〗 S=〖(-1)〗^nm b_0^n ∏_k▒f(y_k ) .
Между результантом и дискриминантом существует связь, которая может быть выражена следующим равенством:
R(f,f^’)=±〖a_0〗^(-1) D
Это равенство позволяет находить одну величину через другую. в зависимости от целей исследования.
Таким образом, все задачи выполнены, цель курсовой работы достигнута.

Фрагмент текста работы:

Дискриминант многочлена, его понятие

Обозначим через К – произвольное поле.
Рассмотрим на нем многочлен вида:

f(x)=a_0 x^n+a_1 x^(n-1)+⋯+a_n (1.1)

Решим задачу нахождения кратных корней рассматриваемого многочлена.
Исходные допущения: a_0≠0.
Пусть в коле K[x] многочлен (1.1) имеет корни α_1,α_(2,)…,α_k.
Среди данных корней могут быть равные друг другу корни, если выполнено следующее равенство:

∆=(α_(2 )-α_1 )(α_(3 )-α_1 )…(α_(k )-α_1 )(α_(3 )-α_2 )(α_(4 )-α_2 )…(α_(k )-α_2 )…(α_(k )-α_(k-1) )=∏_(k≥i≥j≥1)▒〖(α_(i )-α_(j ))〗=0 (1.2)

или равно нулю следующее произведение:
D=a_0^(2k-2) ∏_(k≥i≥j≥1)▒〖(α_(i )-α_(j ))〗^2 =0
Определение. Выражение (1.3) носит название дискриминантом многочлена f(x).
Основным отличием произведения (1.2) от произведения (1.3) является то, что D не меняет знак от перестановки корней α_1,α_(2,)…,α_k, в отличие от ∆.
Поэтому дискриминант является симметричным относительно корней α_1,α_(2,)…,α_k и может быть выражен через коэффициенты многочлена f(x)[5, c. 82].