Курсовая с практикой на тему Парабола и ее свойства

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….. ……………. 3
1. ПАРАБОЛА КАК КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ..……………………..…… 5
1.1. Определения и основные понятия. Вывод канонического уравнения параболы.……………….……………….…………..…………………………. 5
1.2. Теорема о фокальных радиусах гиперболы…………………………………. 8
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ………………..…………….. 10
2.1. Исследование формы параболы………………………………..……………. 10
2.2. Касательные параболы………………………………………………………. 12
2.3. Оптические свойства параболы……..…………………….. ……………… 13
3. ЗАДАЧИ..…………………………………….………………………………………. 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………. 17
СИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………………………….. 18

Введение:

Парабола, наряду с эллипсом и гиперболой, является одной из важнейших невырожденных кривых второго порядка [1]. В математику эту фигуру ввели в рассмотрение древние греки, исследуя различные виды конических сечений, а сам термин «парабола» (от греческого παραβολή — приложение) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. – ок. 190 год до н. э.) [2].
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер)
Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.
Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта − Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
С другой стороны, гипербола, как это известно, каждому школьнику младших классов, это просто график квадратичной зависимости, то есть функции .
Пусть – некоторый полином второй степени. Тогда алгебраическое уравнение в декартовых координатах задает алгебраическую кривую второго порядка. В настоящее время алгебраические кривые второго порядка, хорошо изучены. Различные свойства таких геометрических объектов рассматриваются в специальных монографиях [2, 3], а специальные разделы, посвященные этим кривым, обязательно присутствуют в справочниках [4, с. 64–69], учебных пособиях по аналитической геометрии [1, с. 32–57; 5, с. 82–143; 6, с. 446-454: 7, с. 443-456; 8, с. 213-259; 9, с. 72-99] и других научных изданиях.
В настоящей курсовой работе рассматривается достаточно частный вопрос теории кривых второго порядка – свойства параболы, а сама работа имеет реферативный характер, так как эти вопросы практически полностью изучены. Однако это не умаляет ее актуальности, связанной с анализом различных подходов при установлении основных свойств кривой. Целью работы является систематизация характерных свойств параболы, а в задачи работы входит изложение этих свойств и методов, позволяющих провести такой анализ, а также рассмотрение некоторых характерных примеров задач, решение которых основывается на использовании свойств параболы.
Курсовая работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы.
В первом разделе формулируются различные определения параболы, связанные с ее геометрическими свойствами и выбором системы координат; вводятся основные понятия, используемые в теории кривых второго порядка; выводится каноническое уравнение параболы.
Во втором разделе исследуется форма параболы и выводится уравнение касательных. Также рассматриваются оптические свойства гипербол.
В третьем разделе приводятся примеры задач, решение которых основано на использовании свойств парабол.
В заключении сформулированы основные полученные результаты. При написании курсовой работы использованы результаты работ [1–9].

Заключение:

Проведенные в курсовой работе исследования полностью соответствуют поставленной задаче: проведение систематизации основных свойств параболы. Получено уравнение параболы в полярных координатах, а также параметрическое представление кривой. Анализ проведен на основе общих уравнений кривых второго порядка, а также непосредственно при рассмотрении канонических уравнений кривых
В соответствии с планом в курсовой работе сформулированы различные определения параболы, выведено каноническое уравнение, доказаны теоремы о некоторых свойствах параболы, выведено уравнение касательной к параболе, а также доказано оптическое свойство параболы. Приведены решения характерных геометрических задач, связанных мс гиперболой.
Таким образом, полученные в работе результаты могут быть использованы при первоначальном знакомстве с такой кривой второго порядка, как парабола..

Фрагмент текста работы:

1. ПАРАБОЛА КАК КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В настоящем разделе формулируются различные определения параболы; вводятся понятия, используемые в тории кривых второго порядка; выводится каноническое уравнение параболы.

1.1. Определения и основные понятия. Вывод канонического уравнения параболы.
В начале раздела сформулируем несколько важных определений.
Определение 1. Кривая второго порядка – это геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
, (1.1)
в котором, по крайней мере, один из коэффициентов отличен от нуля.
Сформулированное определение инвариантно относительно выбора декартовой системы координат. Действительно, при переходе к новой системе координат с помощью стандартных геометрических преобразований (параллельного переноса и поворота)
, (1.2).
координаты в одной системе выражаются через координаты в другой системе линейно, и поэтому, подстановка (1.2) в уравнение (1.1)) не может повышать его степень, также как присутствующие в уравнении члены второй степени не могут и исчезнуть.
Уравнение (1.1) называется общим уравнением кривой второго порядка.
Одна и та же кривая в разных системах координат может задаваться различными уравнениями, поэтому, выбирая должным образом систему координат, уравнение (1.1) можно упростить. Системы координат, в которых уравнение (1.1) принимает наиболее простой вид, как и само уравнение, называются каноническими [3]. Приведем определение параболы, основанное на ее геометрических свойствах.
Определение 2. Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до данной точки равно расстоянию до данной прямой , не проходящей через точку . Точка называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через .
Найдем уравнение параболы в декартовой системе координат (рис. 1.1). Пусть – середина отрезка , где – ортогональная проекция точки на прямую . В этой системе координат фокус имеет координаты , а директриса задается уравнением . Пусть − произвольная точка параболы. Расстояния от точки до фокуса и директрисы вычисляются по формулам:
, . (1.3))