Курсовая с практикой на тему Геометрические свойства кривых второго порядка

Содержание:

Введение. 3

1 Определение и классификация кривых
второго порядка. 4

2 Элементарные свойства кривых
второго порядка. 10

3 Евклидовы свойства кривых второго
порядка. 18

Заключение. 28

Список литературы. 29

Введение:

Одними из первых кривыми второго порядка
заинтересовались ученики знаменитого древнегреческого философа Платона.

Данный интерес был обусловлен изучением
различных сечений конусной поверхности. В частности, было замечено, что
вращение двух пересекающихся прямых вокруг биссектрисы угла, который ими
образуется, описывает конусную поверхность.

Если пересекать данную поверхность
плоскостью под различными углами, то в сечения будут принимать формы эллипса,
окружности, параболы, гиперболы и других вырожденных фигур[5, c. 92].

В то время, полученные результаты не нашли
практического применения. Однако, с открытием эллиптических траекторий
движущихся планет, интерес ко всестороннему изучению кривых второго порядка
возродился.

Целью данной работы является анализ,
систематизация и обобщение материала по теме «геометрические свойства кривых
второго порядка».

Для достижения поставленной цели в работе
предполагается решение целого комплекса задач:

— дать определение кривых второго порядка, изучить
классификацию кривых второго порядка;

— изучить элементарные свойства кривых второго
порядка;

— изучить Евклидовы свойства кривых второго
порядка;

— привести практические приложения треугольника
Паскаля;

— сформулировать выводы по работе.

Предметом исследования является геометрические
свойства кривых второго порядка.

Объектом работы являются кривые второго
порядка.

Методы исследования: классификация,
сравнение, синтез, обобщение, математическое моделирование.

Заключение:

В данной курсовой работе было дано общее
определение кривых второго порядка. Рассмотрены канонические кривые второго
порядка.

К ним относятся:

— эллипс как геометрическое множество
точек, координаты которых удовлетворяют следующему равенству: ;

— гипербола как геометрическое множество
точек, координаты которых удовлетворяют следующему равенству: ;

— парабола как геометрическое множество
точек, координаты которых удовлетворяют следующему равенству: .

Далее были рассмотрены элементарные
свойства кривых второго порядка: оптическое свойство, изогональное свойство
коник (кривых второго порядка) и замечательные свойства кривых второго порядка.

В последней главе курсовой работы были рассмотрены
Евклидовы свойства кривых второго порядка.

Следует отметить, что в науке известно
большое количество геометрических свойств кривых второго порядка, однако,
наиболее часто используются элементарные свойства.

В то время как, использование Евклидовых
свойств кривых второго порядка требует хорошего владения математическим
аппаратом.

Фрагмент текста работы:

1 Определение и классификация кривых второго порядка. Оптическое свойство Значимость кривых второго порядка в
науках, не только в геометрии трудно переоценить, так как ими могут быть
описаны различные процессы, происходящие в действительности.

Дадим общее определение кривых второго
порядка.

Определение 1. Кривая второго порядка есть
множество точек в декартовой системе, координаты которых удовлетворяют
следующему равенству[1, c.
26]: (1) В случае, когда  кривая второго порядка считается вырожденной и
представляет собой объединение двух прямых, которые могут совпадать.

Также, кривая второго порядка считается
вырожденной, если представляет собой одну действительную точку, то есть: .

Классификация кривых второго порядка
достаточно обширна, однако, канонических кривых второго порядка всего три.

Это:

— эллипс;

— гипербола;

— парабола.

Определение 2. Эллипс
есть геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют
следующему равенству: