Курсовая с практикой на тему Геометрические построения. Инверсия.

Содержание:

Введение. 3

Глава 1. Теоретические основы
изучения инверсии и геометрических построений  5

1.1. Основные понятия, свойства,
признаки, критерии. 5

1.2. Следствия. 14

Глава 2. Практические основы изучения инверсии и
геометрических построений  16

2.1. Типология задач по
рассматриваемой теме и примеры решения. 16

2.2. Обобщение методов и приёмов
решения задач. 28

Заключение. 30

Список литературы.. 31

Введение:

В
геометрии инверсионная геометрия – это изучение инверсии, преобразования
евклидовой плоскости, которая отображает окружности или линии на другие
окружности или линии и сохраняет углы между пересекающимися кривыми. Многие
сложные задачи в геометрии становятся гораздо более сговорчивыми, когда
применяется инверсия.

Понятие
инверсии может быть обобщено на многомерные пространства. Инверсия – это тип
преобразования, при котором точки перемещаются изнутри круга наружу и из
внешней части круга внутрь с использованием определенного правила. Его можно
использовать для создания изображений, подобных изображенному на этой странице,
но, что более важно, его можно использовать для упрощения некоторых
доказательств. Инверсия также является методом понимания и решения проблемы
Аполлония.

В
геометрии инверсия является либо отражением в окружности или отражения на
сфере. Оба термина основаны на обычном отражении от прямой линии на плоскости
или плоскости в пространстве.

Инверсии
давно играют важную роль в геометрии. Прообразы конических сечений и квадрик в
пространстве — это алгебраические кривые и поверхности не выше 4-й степени с
интересными свойствами.

Инверсия
– очень полезная операция симметрии на окружностях, обобщающая зеркальное
отражение через линию. Инверсия выполняется относительно конкретной центральной
точки и выбора масштаба; затем каждая точка на плоскости преобразуется в другую
точку, образуя тот же угол к центру, но с расстоянием, обратно пропорциональным
исходному расстоянию.

Геометрическая
инверсия, по-видимому, принадлежит открытию Якобу Штайнеру («величайший геометр
со времен Аполлония »), который указал на знание предмета в 1824 году. За ним
внимательно следил Адольф Кетле (1825), который привел несколько примеров.
Очевидно, независимо инверсия была открыта Джусто Беллавитисом в 1836 году,
Стаббсом и Ингрэмом в 1842–1843 годах и лордом Кельвином в 1845 году. Последний
использовал эту идею с заметным успехом в своих электрических исследованиях.

Дана
работа посвящена преобразованию инверсии и ее применению в решении задач на
построение. Для удобства изложения материал разбит на две главы.

Объект
исследования – раздел элементарной математики, к которому относится инверсия и
геометрические построения.

Предмет  исследования – приемы решения геометрических
задач на построение методом инверсии.

Цель
исследования – систематизация теоретического материала и его применение к
решению задач.

Задачи
исследования:

1.
Изучить основные понятия, свойства, признаки, критерии.

2.
Представить следствия.

3.
Представить типологию задач по рассматриваемой теме и примеры решения задач.

4.
Представить обобщение методов и приёмов решения задач.

Методы
исследования: анализ теоретических материалов, синтез, систематизация,
классификация, обобщение.

В
содержании первой главы представлено рассмотрение основных понятий инверсии,
представлены и изучены свойства инверсии, перечислены признаки и критерии
реализации инверсии в геометрических построениях.

Во
второй главе представлены геометрические задачи на построение. Известные задачи
по геометрии и процесс их решения. Обобщены методы и приемы решения подобных
задач.

Работа
включает в себя также введение, заключение и список используемой литературы.

Список
использованной литературы включает 18 наименований.

Заключение:

В
результате выполнения работы были решены следующие задачи:

1.
Рассмотрены основные понятия, ключевые свойства, главные признаки, критерии.
Важно заметить, что инверсия – очень полезная операция симметрии на
окружностях, обобщающая зеркальное отражение через линию. Инверсия выполняется
относительно конкретной центральной точки и выбора масштаба; затем каждая точка
на плоскости преобразуется в другую точку, образуя тот же угол к центру, но с
расстоянием, обратно пропорциональным исходному расстоянию.

Геометрическая
инверсия, по-видимому, принадлежит открытию Якобу Штайнеру («величайший геометр
со времен Аполлония »), который указал на знание предмета в 1824 году. За ним
внимательно следил Адольф Кетле (1825), который привел несколько примеров.

Очевидно,
независимо инверсия была открыта Джусто Беллавитисом в 1836 году, Стаббсом и
Ингрэмом в 1842–1843 годах и лордом Кельвином в 1845 году. Последний
использовал эту идею с заметным успехом в своих электрических исследованиях.

2.
Представлены следствия.

3.
Представлена и разобрана типология задач по рассматриваемой теме и представлены
примеры решения задач.

4.
Представлено обобщение методов и приёмов решения задач, на конкретных примерах
рассматриваемых инверсию. В геометрии, инверсивная геометрия является изучение
инверсии, трансформацией евклидовой плоскости, отображающей окружность или
линию с другими кругами или линиями, и что сохраняет углы между кривыми
пересечением. Многие сложные геометрические задачи становятся более решаемыми,
когда применяется инверсия.

Таким образом, цель
работы достигнута, а задачи решены

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретические основы изучения
инверсии и геометрических построений 1.1. Основные понятия, свойства, признаки, критерии Обратная точка. Идея «инвертирования» особенно
связана с геометрией. Можно отметить, что точка  – это также обратная для точки Р в
соответствии с окружностью. В соответствии с арифметическими задачами можно
отметить, что понятие инверсии обозначают как определение обратного значения
[6].

Рассмотрим окружность. Допустим, что окружность
имеет центр в точке О, а также радиус – r. Инверсия круга либо инверсия окружности – это
точка , которая располагается на луче ОР. При этом точка является обратной точке Р. У окружности радиус – r, центр – точка О [5].

Инверсия, принимающая любую точку P (отличную от
O) к своему изображению P’, также возвращает P’ обратно к P, поэтому
результатом применения одной и той же инверсии дважды является преобразование
тождества во всех точках плоскости, отличных от O (самоинверсия).

Чтобы сделать инверсию инволюцией, необходимо
ввести точку на бесконечности, единственную точку, расположенную на всех
линиях, и расширить инверсию, по определению, чтобы заменить центр O и эту
точку на бесконечности [1].

Из определения следует, что инверсия любой точки
внутри опорной окружности должна лежать вне ее, и наоборот, при этом центр и
точка на бесконечности меняются местами, в то время как любая точка на
окружности остается неизменной (инвариантна при инверсии).

Таким образом, чем ближе точка к центру, тем
дальше ее трансформация, и наоборот.

Инверсия круга либо инверсия окружности – это
точка , которая располагается на луче ОР. При этом точка является обратной точке Р. У окружности радиус – r, центр – точка О. Определим данное понятие в
отношении: