Контрольная работа на тему Возвратные уравнения

Содержание:

Введение 3

1 Аналитическая часть 5

1.1 Исторические корни решения уравнений 5

1.2 Возвратные уравнения и их свойства 6

1.3 Методы решения возвратных уравнений 7

2 Практическая часть 11

2.1 Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени 11

2.2 Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени 12

2.3 Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени 15

2.4 Возвратные уравнения нечетной степени старше 3 15

Заключение 17

Список использованной литературы 18

Введение:

Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.

(М.Башмаков)

Современная алгебра имеет множество направлений, большинство из которых построены на основе различного рода уравнений и способов их решения.

Развитие алгебры в период с XV по XVII столетия является важным рубежом в математических науках и, прежде всего, именно в алгебре. Усилиями математиков дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари в первой половине XVI века были открыты способы решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени, найден общий метод аналитического решения уравнений третьей и четвертой степеней и в основном завершена разработка символики, ставшей языком математики. Предложенный Кардано прием искусственной подстановки оказался весьма плодотворным для дальнейшего развития алгебры. Он явился той почвой, на которой великому французскому математику Франсуа Виету удалось создать применяемый до настоящего времени «общий способ преобразования уравнений», изложенные в научном труде «Великое искусство». Он первым из математиков не только дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических уравнений.

В 30-е годы XVIII в. проблемой решения уравнения пятой степени занялся величайший из математиков этого века Леонард Эйлер. Он заметил, что уравнения второй, третьей и четвертой степеней сводятся к уравнениям более низкой степени, которые он назвал aequato resolvens—разрешающими уравнениями; сейчас их называют резольвентами. Попытки решить уравнение n — й степени с помощью подстановки не привели к желаемому результату, однако это позволило открыть способ решения так называемых возвратных уравнений. Это уравнения, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от начала и от конца, одинаковы.

Использование возвратных уравнений, иначе их еще называют разностными или рекуррентными, в таких областях человеческой деятельности как информационные технологии, экономика и многих других является весомым основанием для включения в школьную программу изучения для практической подготовки к будущей профессиональной деятельности.

Основной целью исследования является изучение известных в настоящее время методов поиска решения возвратных уравнений и их практическое применение при решении задач, включенных в тестовые задания единого государственного экзамена по математике профильного уровня.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить теоретические основы и ключевые математические понятия возвратных уравнений.

2. Изучить, представленные в научной литературе способы и методы решения возвратных уравнений.

3. Представить результаты практического применения изученных способов и методов решения возвратных уравнений при решении типовых заданий единого государственного экзамена профильного уровня.

4. Сделать выводы о достаточности изученных методов для успешного выполнения типовых заданий единого государственного экзамена по математике профильного уровня при решении возвратных уравнений.

Основной гипотезой исследовательского проекта является следующее утверждение: «Для успешного выполнения заданий единого государственного экзамена по математике профильного уровня на решение уравнений возвратного вида высокой степени достаточно овладения методами и способами решения уравнений такого вида, представленными в научной и методической литературе».

При подготовке материалов для написания проекта были использованы теоретические и практические методы научного исследования, такие как анализ, синтез, моделирование, наблюдение, сравнение, а также наглядные методы представления и обработки информации.

Практическая значимость исследования заключается в разработке алгоритмов для решения типовых задач при сдаче государственной итоговой аттестации по математике на профильном уровне.

Заключение:

Основной целью проведенного исследования являлось изучение известных в настоящее время методов поиска решения возвратных уравнений и их практическое применение при решении задач, включенных в экзаменационные задания государственной итоговой аттестации по математике профильного уровня.

В ходе работы была изучена история открытия возвратных уравнений, их основных свойств и методов решения, описанных Леонардом Эйлером еще в 18 веке, а также современный взгляд на разработку алгоритмов решения возвратных уравнений с точки зрения школьной математики, представленный в работах Самсиковой Н.А., Прусенко Ф.Н., Фельдман И. В. и других.

При выполнении практической части проекта были проанализированы варианты экзаменационных заданий ЕГЭ за последние пять лет в части 2, представляющей собой задачи повышенной и высокой сложности. Основной целью данного анализа являлось подтверждение или опровержение выдвинутой гипотезы о том, что «Для успешного выполнения заданий единого государственного экзамена по математике профильного уровня на решение уравнений возвратного вида высокой степени достаточно овладения методами и способами решения уравнений такого вида, представленными в научной и методической литературе».

Для этого были выбраны основные типы встречающихся чаще всего возвратных уравнений, описаны общие методы их решения, и выполнены контрольные примеры решения возвратных уравнений. В результате чего можно сделать следующие выводы:

1. Любое возвратное уравнение в школьном курсе математике в конечном итоге сводится к решению линейных и квадратных уравнений, которые являются сомножителями после выполнения преобразования левой части возвратного уравнения и изучаются в базовом курсе математики.

2. Чтобы выполнить такие преобразования достаточно знать основные свойства возвратных уравнений и свойства коэффициентов многочленов, формулы сокращенного умножения, теорему Безу и ее следствия и уметь правильно выполнять деление многочлена на двучлен, используя для этого «деление уголком» или «схему Горнера». Их изучение предусмотрено в профильном курсе школьной математики.

Таким образом, гипотеза исследования подтверждена.

Фрагмент текста работы:

1 Аналитическая часть

1.1 Исторические корни решения уравнений

Алгебра как искусство решать уравнения возникла очень давно и связано это было с необходимостью решать практические задачи, которые имели схожий тип.

Первыми из используемых стали линейные уравнения, описанные в рукописях Древнего Вавилона и Древнего Египта, которые содержали приемы решения такого вида уравнений, однако «отцом алгебры» считается персидский математик и астроном Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. В своем знаменитом трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» или «Краткая книга о восполнении и противопоставлении», написанном примерно в 820 году, Аль-Хорезми предоставил исчерпывающий отчет о решении положительных корней полиномиальных уравнений до второй степени.

Трактат аль-Хорезми — важная веха развития арифметики и классической алгебры, науки о решении уравнений. Он на столетия определил характер алгебры как практической науки без аксиоматической основы. В трактате аль-Хорезми систематизировал и изложил два известных ему выдающихся достижения индийских математиков — арифметику в позиционной десятичной системе счисления и решение квадратного уравнения ax^2+bx+c=0.

Для приведения квадратно канонических видов аль-Хорезми ввел два действия. Первое из них, аль-джабр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие — аль-мукабала — состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения.

А также в трактате аль-Хорезми представил правило умножения многочленов. Применение всех этих действий и введённых выше правил он показывает на примере 40 задач.

Историческое значение труда Аль-Хорезми заключается в его чрезвычайно систематическом подходе, направленном на общую классификацию линейных и квадратных уравнений и на общие методы их решения, которые подтверждаются доказательствами. Персидский ученый представил способ решения уравнений, связанный с переносом вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть к отмене одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения, который лег в основу развития методов решения уравнений. Саму операцию переноса Аль-Хорезми первоначально описал как аль-Джабр [1].

В середине 12-го века Робертом Честерским книга была переведена на латынь под названием Liber Algebrae et Almucabola. Перевод слова «аль-Джабр», или «аль-абр», в названии этой книги стал родоначальником известного нам термина «алгебра» [2].

Несмотря на столь значительные достижения древних ученых в области математики и алгебры, ее активное дальнейшее развитие началось с XV столетия, благодаря выдающейся плеяде таких ученых, как Ферро, Тартальи, Кардано, Феррари, Виета, Муавра, Безу, Горнера, Абеля, Эйлера и других. В промежуток времени с 15 по 19 столетия особое внимание стало уделяться поиску решений уравнений высоких степеней. Появление в XVIII – XIX столетиях математики переменных величин, создание основ дифференциального и интегрального исчисления, появление новых геометрий – дифференциальной и проективной еще более подтолкнуло математиков того времени к активному поиску универсальных способов и методов решения уравнений такого вида [3].