Контрольная работа на тему Линейная алгебра

Фрагмент текста работы:

Задачи 6

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найдите:

косинус угла ABD;

площадь грани ABC;

объем пирамиды ABCD.

A B C D

(1;5;2) (1;3;1) (2;1;1) (0;5;3)

Решение.

Найдем координаты векторов (BA) ⃗ и (BD) ⃗, для чего нужно вычесть координаты начальной точки из соответствующих координат конечной точки:

(BA) ⃗=(1-1;3-5;1-2)=(0;-2;-1),

(BD) ⃗=(1-0;3-5;1-3)=(1;-2;-2).

Вычислим длины каждого из найденных векторов, взяв квадратный корень из суммы квадратов координат:

BA=√(0^2+〖(-2)〗^2+〖(-1)〗^2 )=√5,

BD=√(1^2+〖(-2)〗^2+〖(-2)〗^2 )=3.

Найдем скалярное произведение рассматриваемых векторов, перемножая их соответствующие координаты и складывая получившиеся произведения между собой:

(BA) ⃗∙(BD) ⃗=0∙1+(-2)∙(-2)+(-1)∙(-2)=6.

Косинус угла ABD находим по формуле:

cos⁡〖∠ABD〗=((BA) ⃗∙(BD) ⃗)/(BA∙BD)=6/(√5∙3)=2/√5=(2√5)/5.

Площадь грани ABC есть половина длины векторного произведения векторов (BA) ⃗ и (BC) ⃗, первый из которых уже найден выше, а

(BC) ⃗=(1-2;3-1;1-1)=(-1;2;0).