Аттестационная работа (ВАР/ВКР) на тему Уравнения и неравенства с модулем

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретический аспект теории уравнений и неравенств с модулем 5
1.1 Понятие, свойства уравнений и неравенств с модулем 5
1.2 Типы уравнений и неравенств с модулем, методы их решения 8
1.2.1 Линейные уравнения и неравенства с модулями. Метод раскрытия модуля по определению и по геометрическому смыслу 8
1.2.2 Уравнения и неравенства с неизвестными под знаком модуля. Метод раскрытия модуля по определению и по геометрическому смыслу 18
1.2.2 Линейные уравнения и неравенства с модулями. Метод интервалов 20
1.2.4 Уравнения и неравенства с неизвестными под знаком модуля. Метод интервалов 24
Глава 2. Методика решения уравнений и неравенств с модулем в школьной математике при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ 33
2.1 Особенности решения уравнений и неравенств с модулем в заданиях ОГЭ по математике 33
2.2 Особенности решения уравнений и неравенств с модулем в заданиях ЕГЭ по математике 35
2.2.1 Уравнения и неравенства с разным количеством модулей 37
2.2.2 Уравнения и неравенства смешанного типа 47
2.2.3 Системы уравнений и неравенств с модулями 50
2.2.4 Системы уравнений и неравенств с параметрами и модулями 52
Заключение 58
Список использованной литературы 61

Введение:

Актуальность темы. Задачи обучения математике в школе заключаются не только в том, чтобы дать учащимся определенную сумму знаний, но и потому (и это главное), чтобы развить в них творческое математическое мышление, заинтересовать их математикой, привить им навыки самостоятельно выполнять исследования и решать сложные математические задачи.
Понятие «модуля числа» согласно действующей программе и базовых учебников вводится в курсе математики общеобразовательной школы в шестом классе. Но внимания решению задач данной тематики уделяется слишком мало, как в шестом, так и в старших классах. Базовые учебники содержат лишь отдельные задачи на модуль числа.
Усвоение понятия модуля числа нужно не только для овладения алгоритмами арифметических действий с положительными и отрицательными числами. Оно способствует формированию у учащихся абстрактного и алгоритмического видов мышления; логического мышления разветвления (при использовании алгебраического содержания модуля); наглядно-образного мышления (при использовании геометрической интерпретации модуля); поисковой эвристической деятельности (при поиске рациональных способов решения). Именно для проверки наличия соответствующих типов мышления выпускников к заданиям ОГЭ и ЕГЭ, как правило, включают задачи на модуль числа.
Овладение навыками решения задач на модуль числа является условием не только успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике но, это необходимо и для дальнейшего изучения курса высшей математики.
Как известно, при обучении учащихся решению уравнений и неравенств с модулями возникают некоторые трудности в отыскании решений того или иного уравнения, методов и способов решения. Так что этот вопрос является достаточно актуальным в школьном курсе математики. Все это и определяет актуальность и тему курсовой работы: «Уравнения и неравенства с модулем».
Объект исследования: математика.
Предмет исследования: применение понятия модуля и методов решения уравнений и неравенств с модулем к решению задач в ОГЭ, ЕГЭ.
Цель работы – изучить понятие модуля, его сущность, типы уравнений и неравенств с модулем, методы решения, а также рассмотреть особенности их применения к решению задач в ОГЭ, ЕГЭ по математике.
Достижение поставленной цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Исследовать и проанализировать научную литературу по данной теме.
2. Раскрыть сущность понятия «модуль числа».
3. Описать и систематизировать основные свойства модуля числа, типы простых уравнений и неравенств с модулем, методы их решения.
4. Подобрать примеры для иллюстрации рассматриваемого понятия, а также показать методические особенности решения уравнений и неравенств с модулем в заданиях ОГЭ, ЕГЭ по математике и на основе исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 62 страницы.

Заключение:

На основе проведенного исследования, хотелось бы отметить необходимость дальнейшего изучения теории уравнений и неравенств с модулем исходя из важности области применения понятия «модуль» в процессе подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
В квалификационной работе «Уравнения и неравенства с модулем» был систематизирован теоретический материал об уравнениях и неравенствах с модулем. Рассмотрены также примеры применения модуля к решению уравнений и неравенств к заданиям ЕГЭ.
Также на основе исследования можно сделать следующие выводы:
1. Для того чтобы понять суть уравнений и неравенств с модулем необходимо знать понятие модуля, его свойства и геометрический смысл.
Модулем неотрицательного числа называется само это число, а модулем отрицательного числа называется противоположное ему число.
2. К основным свойствам модуля относятся:
Рассмотрим основные свойства понятия о модуле числа:
а). Модуль алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше суммы модулей слагаемых, то есть:
.
б). Модуль разницы двух действительных чисел не меньше разницы модулей этих чисел, то есть:
.
в). Модуль суммы двух действительных чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, то есть:
.
г). Модуль разности двух действительных чисел не больше суммы модулей этих чисел, то есть:
.
д). Модуль произведения нескольких действительных чисел равен произведению модулей этих чисел.
е). Модуль двух действительных чисел равен соотношению модулей делимого и делителя.
3. При решении уравнений и неравенств с неизвестной величиной под знаком модуля удобно пользоваться следующими соотношениями.
1. Для уравнений:
а) , .
б)
в)
г) .
Последнее соотношение следует из свойства .
2. Для неровностей:
а)
б)
в)
г)
д)
4. В ОГЭ 2019 года не введено понятие модуля в тему «Уравнения и неравенства». Хотя в самом экзамене есть задания с модулем, которые предусматривают применение его понятия и геометрического смысла при работе с построением функций и их считыванием, поиском общих точек соприкосновения.
5. В ЕГЭ 2019 года понятие модуля включено в тему «Уравнения, неравенства, системы», а также в темы «Уравнения и неравенства с модулем», «Показательные уравнения и неравенства», «Комбинированные уравнения и неравенства», «Системы», «Задачи с параметрами».
Каждый тип уравнения имеет свою методику решения, что необходимо учитывать при подготовке к ЕГЭ.
6. В работе было рассмотрено много иллюстративных примеров. Поэтому, цель курсовой работы достигнута, а задачи, поставленные в начале, выполнены.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретический аспект теории уравнений и неравенств с модулем

1.1 Понятие, свойства уравнений и неравенств с модулем

Для того чтобы понять суть уравнений и неравенств с модулем необходимо знать понятие модуля, его свойства и геометрический смысл.
Определение 1. Модулем неотрицательного числа называется само это число, а модулем отрицательного числа называется противоположное ему число [7].
Например, модуль числа 5 есть 5, модулем числа 0 есть 0, модулем числа — 4 является 4. Все это записывают так:
, , .
Итак, из определения модуля получается, что [7]

Очевидно, модуль числа имеет следующие простейшие свойства:
а) модуль числа есть число неотрицательное, то есть при любом а:
;
б) модуль числа не меньше этого числа, то есть при любом а:
.
Рассмотрим основные свойства понятия о модуле числа.
Свойство 1. Модуль алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше суммы модулей слагаемых, то есть [8]:
.
Свойство 2. Модуль разницы двух действительных чисел не меньше разницы модулей этих чисел, то есть [8]:
.
Например, , , , .
Свойство 3. Модуль суммы двух действительных чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, то есть:
.
Свойство 4. Модуль разности двух действительных чисел не больше суммы модулей этих чисел, то есть:
.
Свойство 5. Модуль произведения нескольких действительных чисел равен произведению модулей этих чисел.
Свойство 6. Модуль двух действительных чисел равен соотношению модулей делимого и делителя [8].
Теперь рассмотрим геометрический смысл модуля числа. Если на числовой оси точки и , то расстояние d между ними будет равняться (рис. 1):

Рисунок 1 – Геометрический смысл модуля числа [7]
а) , если ;
б) , если ;
в) , если .
Учитывая определение модуля числа получим:
.
Итак, геометрическое содержание выражения таковое: – это расстояние между точками и . Если , то получим . Поэтому геометрический смысл модуля числа такой: – это расстояние между точкой и началом отсчета [7].
Например, если , то геометрическая интерпретация этого выражения имеет вид (рис. 2):

Рисунок 2 – Модуль числа 4
То есть .
Если , то имеем:

Рисунок 3 – Модуль выражения
То есть .
Таким образом, определение модуля и геометрическая интерпретация позволит нам легко решать некоторые линейные уравнения и неравенства с модулями.