Статья на тему Статья по математике и ее приложениям, содержащие новые математические результаты

Введение:

Пристальное внимание в настоящее время уделяется такой области теории краевых задач, как исследование решений задач, содержащих параметры либо в уравнении, либо в краевых усло-виях. Исследованию существования и построении решений крае-вых задач, когда параметр содержится в краевых условиях, по-священная статья А.М. Самойленко, М.И. Ронто, В.А. Ронто [10].
В монографии О.А. Бойчука, В.Ф. Журавлева, А.М. Са-мойленко [1] освещен подход к изучению нетеровых задач, к ко-торым относятся и задачи с ограничениями.
В работах М.И. Ронто [9, 10], В.А. Ронто [10] устанавлива-ются условия существования решений краевых задач с параметра-ми и применяются к ним приближенные методы.
Условия решаемости сингулярных интегральных уравне-ний с параметрами и ограничениями были рассмотрены в статьях О.Б. Полищук [6].
В трудах А.Ю. Лучки [3-5], О.И. Ковтун [2], О.Б. Полищук [8], В. А. Ферука [5] исследования задач с ограничениями прово-дились с помощью задач с параметрами.
В статье [6] автором были установлены условия существо-вания решений краевой задачи для линейных интегро-дифференциальных уравнений с ограничениями и обосновано применение к ним итерационного метода.
Данная статья посвящена вопросам существования и един-ственности решения краевой задачи для слабонелинейных инте-гро-дифференциальных уравнений с параметрами.
При решении этих вопросов используется методика, разра-ботанная в [3-5, 7].

Заключение:

В ходе моей работы было практически исследовано и найдено условие существования единого решения краевой задачи для слабонелинейных интегро-дифференциальных уравнений с параметрами, а также эквивалентность данной задачи и соответ-ствующего интегрального уравнения.

Фрагмент текста работы:

1 Постановка задачи

1. Постановка задачи
Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение вида:
(1)
и поставим задачу нахождения такой функции и параметра , которые удовлетворяют уравнения (1) почти везде, краевые условия и ограничения:
, (2)
Если такая пара существует, то задачу (1), (2) счи-таем совместимой.
2 Важные теоремы
В представлениях (1), (2) считаем:
(3)
t ∈ [a, b], ε – достаточно малый неотъемлемый параметр, , , ядро – суммирующие с квадратом по совокупности переменных, – матрица , – матрица , элементы которых линейно независимые функции, суммирующие с квадратом на отрезке [a, b], константа – матрица U, элементы которой имеют вид:
,
и , являются заданными.
Считаем также, что оператор:

отображает пространство в пространство . Функция , которая его порождает, удовлетворяет условие Липшица:
(4)
для любых .
Используя методику, разработанную в [3-7], установим, что задача (1), (2) эквивалентна интегральному уравнению без огра-ничений.
Рассмотрим порождающую задачу:
, (5)
(6)
где
, (7)
заданная функция и коэффициенты непрерывны на отрезке [a, b].
В статье [6] было доказано, что в случае, когда однородная задача:
, , (8)
имеет лишь тривиальное решение, существуют следующий вектор и функции , , – матрица , что единственное решение неоднородной задачи (5), (6) изображается формулами:
, (9)
Запишем уравнение (1) в виде:

(10)
Введя обозначение:
, ,

и, используя формулу (7), выражение (10) можно записать в виде:
.
Итак, задача (1), (2) стала задачей (5), (6), последняя из ко-торых относительно однородной задачи (8) имеет единое решение, которое изображается формулами (9).
Подставим первое выражение в представлении (9) в пра-вую часть соотношения (11)