Реферат на тему Зарождение, становление и развитие линейной алгебры

Содержание:

Введение. 3
1.Зарождение линейной
алгебры. 4
2.Становление линейной
алгебры. 8
3.Развитие линейной
алгебры. 10
Заключение. 14
Список использованной
литературы.. 15

Введение:

Линейная алгебра — это раздел алгебры,
изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства,
линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов,
используемых в линейной алгебре, есть определители, матрицы, сопряжение.

Теория инвариантов и тензорное исчисление
обычно (полностью или частично) также рассматриваются как составные части
линейной алгебры. Такие объекты, как квадратичные и билинейные формы, тензоры и
операции как тензорное произведение, возникают непосредственно из изучения
линейных пространств, но как таковые они относятся к полилинейной алгебре.

Линейная алгебра обобщается с помощью
общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного)
пространства основано исключительно на абстрактных структурах, и многие
результаты линейной алгебры обобщаются на любые модули через кольцо. Кроме
того, методы линейной алгебры широко используются в других разделах общей
алгебры, в частности, в такой технике, как сведение абстрактных структур к
линейным структурам и их изучение с помощью относительно простых и хорошо
разработанных средств линейной алгебры, таких как реализована теория
представления групп. Функциональный анализ возник как применение методов
математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным
пространствам и во многом основан на методах линейной алгебры и их дальнейших
обобщениях. Линейная алгебра также широко используется во многих приложениях
(включая линейное программирование, эконометрику и науку (например, квантовую
механику)).

Цель работы: зарождение,
становление и развитие линейной алгебры.

Задачи: 1.Зарождение линейной алгебры;

2.Становление линейной алгебры;

3.Развитие линейной алгебры.

Заключение:

Обоснование и математические методы,
разработанные до начала XIX века, позволили математикам заложить теоретические
основы линейной алгебры и перестроить ее в соответствии с требованиями новой
методологии. Новая методология математики помогла преодолеть кризис ее основ и
открыла широкие перспективы для ее дальнейшего развития.

Дальнейшее развитие математики до конца
XIX — начала XX века носило преимущественно прагматический характер, когда
математика была эффективным средством решения физических, астрономических и
других прикладных задач. При этом никогда не снимался вопрос о «законных»
способах построения математических понятий и доказательств. Из-за отсутствия
самого понятия математической логики интуиция была основным средством
доказательства. Интуиционизм как особое направление в математике возник в
начале двадцатого века на основе номиналистской тенденции ограничивать
математику только понятиями, которым можно придать «реальный смысл».

Крупные успехи двадцатого века в основах
математики позволили нам взглянуть на проблему основ математики с новой точки
зрения по сравнению с предыдущими временами. Потребности в развитии самой
математики, «математизация» различных областей науки, проникновение
математических методов во многие области практической деятельности,
стремительный прогресс вычислительной техники приводят к смещению основных
усилий математиков в рамках установленных разделов математики и появлению ряда
новых математических дисциплин.

Исследования в области общих проблем
управления и смежных областей математики в сочетании с достижениями в области
вычислительной техники создают основу для автоматизации новых областей
человеческой деятельности.

Фрагмент текста работы:

1.Зарождение линейной
алгебры

Происхождение самого слова «алгебра» до
конца не изучено. По мнению большинства исследователей этого номера, слово
«алгебра» происходит от названия работы арабского математика Аль-Хорезми (от
имени которого, по мнению большинства исследователей, происходит популярное
слово «алгоритм») «Аль-Джабр-аль-Мукабаллах», т.е. «доктрина» перестановок,
отношений и решений, но некоторые авторы производят слово «алгебра» от имени
математика Гебера, но существование такого математика сомнительно [12].

Вавилон. Истоки алгебры восходят к
глубокой древности. Уже около 4000 лет назад вавилонские ученые обладали
решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, одно из которых
второй степени. С помощью таких уравнений решались различные задачи
землеустройства, строительства и военного дела. Буквенные обозначения, которые
мы используем в алгебре, не использовались вавилонянами; уравнения были
записаны в устной форме [2].

Греция. Самые ранние сокращения
неизвестных величин были найдены у древнегреческого математика Диофанта (2–3
века нашей эры). Первой существующей работой, содержащей изучение
алгебраических вопросов, является трактат Диофанта. В этом трактате мы встречаемся,
например, с правилом знаков (меньше за меньшее дает больше), изучением степеней
чисел и решением многих неопределенных вопросов, которые в настоящее время
связаны с теорией чисел. Из 13 книг, составивших весь труд
Диофанта, сохранились только 6, в которых уже решены довольно сложные
алгебраические задачи. Нам не известны какие-либо другие древние сочинения по
алгебре, кроме утраченных работ знаменитой дочери Теона, Гипатии [7].

Также отметим, что греческие математики
смогли найти приблизительные значения корней, но в алгебре они пытались
избежать иррациональности.

Китай. За 2000 лет до нашего времени
китайские ученые решали уравнения первой степени и их системы, а также
квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа.
Поскольку каждый символ представляет собой определенное понятие в китайском
письме, в китайской алгебре не может быть сокращений.

Позднее китайская математика обогатилась
новыми достижениями. Таким образом, в конце 13 века китайцы знали закон
образования биномиальных коэффициентов, известный как «треугольник Паскаля». В
Западной Европе этот закон был открыт 250 лет спустя [11].

Индия. Индийские ученые широко
использовали сокращения для неизвестных величин и их степеней. Эти обозначения
являются начальными буквами соответствующих им. Иррациональные и отрицательные
числа широко использовались индийскими авторами. Наряду с отрицательными
числами в семейство чисел вошел ноль, что ранее означало отсутствие числа.

Страна на арабском языке. Узбекистан.
Таджикистан. Основоположником алгебры как особой науки следует считать
узбекского ученого Мухаммеда де Хорезма, известного под арабским прозвищем
аль-Хваризми. Его алгебраическая работа, составленная в 9 веке нашей эры,
называется «Книгой восстановления и противостояния». «Восстановление» Мухаммед
призывает к переносу вычитаемого из одной части уравнения в другую, где это
становится вызовом; «Противостояние» — совокупность неизвестных в одном
направлении уравнения, а известных — в другом. По-арабски «реставрация»
называется «аль-джабр». Отсюда и название «алгебра».

Ни он, ни другие математики, писавшие
по-арабски, не использовали аббревиатуры. Они также не признавали отрицательные
числа: знакомую им по индийским источникам доктрину отрицательных чисел считали
необоснованной. Узбекские, таджикские, персидские и арабские математики
обогатили алгебру рядом новых достижений. Для уравнений более высокой степени
они смогли найти приблизительные значения корней с очень высокой точностью.
Так, известный узбекский философ, астроном и математик аль-Бируни (973-1048),
тоже из Хорезма, свел задачу вычисления стороны правильного 9-угольника,
вписанного в данную окружность, к кубическому уравнению x = 1 + 3x и нашел (в
60-ти долях) приблизительное значение х = 1,52’45’47»13»«, то есть целое 52
шестидесятых, 45 три тысячи шестьсот и т. д. (с точностью до 1/604; в
десятичных дробях это дает семь правильных десятичных знаков) [6].

Средневековая Европа. В XII веке алгебра
аль-Хорезми стала известна в Европе и была переведена на латынь. С этого
времени началось развитие алгебры в европейских странах. Появляются
аббревиатуры для неизвестных и решается ряд новых задач, связанных с потребностями
бизнеса. Но до 16 века существенных изменений не произошло. В первой трети XVI
века итальянцы дель Ферро и Тарталья нашли правила решения кубических уравнений
вида:

х = пикс + д; х + px = q; х + д = пикс,

и Кардано показал в 1545 году, что любое
кубическое уравнение сводится к одному из этих трех.

Первые элементы линейной алгебры возникли
из практических вычислительных задач, связанных с решением линейных уравнений,
в частности, арифметические методы, такие как тройное правило и правило ложного
положения, были сформулированы в древности. В «Началах» Евклида появляются две
теории «линейного» характера: теория величины и теория целых чисел. Близкие к
современным матричным методам решения систем линейных уравнений встречаются
между вавилонянами (системы двух уравнений с двумя переменными) и древними китайцами
(в «Математике в девяти книгах» до трех уравнений с тремя переменными)

Однако после достижения
определенности в основных вопросах нахождения решений систем линейных уравнений
развития раздела практически не произошло, и даже в конце XVIII — начале XIX
века считалось, что проблемы, связанные с уравнениями первой степени, больше не
существовало системы линейных уравнений с числом переменных, отличным

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ. 3
1 ЗАРОЖДЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.. 5
2 СТАНОВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.. 7
3 РАЗВИТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.. 8
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 13
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 14

Введение:

ВВЕДЕНИЕ

Математика в ее нынешнем
состоянии представляет собой объединение большого количества математических
теорий, сформированных за ее многовековую историю. Наряду с математикой
развивались и его методы: арифметические, алгебраические, дифференциальные и
интегральные методы исчисления и др. Многообразие современной математики
позволяет использовать каждый из этих методов в процессе научного познания.

В этом смысле актуальным
становится вопрос об эволюции математических методов, поскольку характер его
исторического развития оказал существенное влияние на состояние современной
математической науки.

Алгебра — это часть
математики, которая, наряду с арифметикой и геометрией, является одним из
старейших разделов этой науки. Задачи, а также методы алгебры, которые отличают
ее от других разделов математики, создавались постепенно, с древности.

Задачи, решения и
исследования уравнений оказали большое влияние на развитие первоначальной
арифметической концепции числа. С введением в науку отрицательных,
иррациональных и комплексных чисел общее изучение свойств этих различных систем
счисления также переместилось в алгебру. При этом там сформировались
характерные для него буквенные обозначения, что позволило записать свойства
действий на числа в лаконичной форме, что удобно для построения расчета по
буквенным выражениям. Буквальное исчисление тождественных преобразований
составляет аппарат классической алгебры. Таким образом, алгебра была отделена
от арифметики: изучение алгебры с использованием буквенных обозначений, общих
свойств систем счисления и общих методов решения задач с использованием
уравнений; Арифметика имеет дело с методами вычисления с конкретными заданными
числами и в их более высоких полях с тонкими индивидуальными свойствами чисел.
Развитие алгебры, ее методов и символов оказало очень большое влияние на
развитие новых областей математики и, в частности, подготовило появление
математического анализа. Написание простейших базовых концепций анализа, таких
как значение переменной или функция, невозможно без буквенной символики классической
алгебры. Как и любая другая наука, алгебра прошла долгий исторический путь в
своем развитии, который условно можно разделить на несколько периодов.

Линейная алгебра — это
раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные)
пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных
инструментов, используемых в линейной алгебре, есть определители, матрицы,
сопряжение. [2, 31]

Линейная алгебра
обобщается с помощью общей алгебры, в частности, современное определение
линейного (векторного) пространства основано исключительно на абстрактных
структурах, и многие результаты линейной алгебры обобщаются на произвольные
модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в
других разделах общей алгебры, в частности, часто используется такая техника,
как сведение абстрактных структур к линейным и их изучение с помощью
относительно простых и хорошо разработанных средств линейной алгебры, например,
например, это реализовано в теории представлений групп.

Цель данной работы
состоит в том, чтобы проследить весь период становления и развития данной науки
с древнейших времен и до наших дней.

Для достижения цели был
поставлен ряд задач:

− изучить
необходимую литературу;

− ознакомиться с
темой зарождения линейной алгебры;

− изучить становление
линейной алгебры;

− рассмотреть развитие
линейной алгебры;

− сделать заключение
по теме.

Заключение:

Разработанные до начала
XIX века методы обоснования и математики позволили математикам заложить
теоретические основы линейной алгебры и перестроить ее в соответствии с
требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала
преодолению кризиса ее основ и открывала широкие перспективы для ее дальнейшего
развития.

Развитие математики в
конце 19 — начале 20 веков было в основном прагматичным, когда математика
использовалась как эффективное средство решения физических, астрономических и
других прикладных задач. В то же время никогда не снимался вопрос о «законных»
способах построения математических понятий и доказательств. В отсутствие
концепции математической логики интуиция была основным инструментом доказательства.
Интуиционизм как особое направление в математике возник в начале 20 века на
основе номиналистической тенденции ограничивать математику только теми
понятиями, которым можно придать «реальный смысл».

Крупные успехи двадцатого
века в области основ математики позволили нам взглянуть на проблему основ
математики с новой точки зрения по сравнению с предыдущими временами.
Потребности в развитии самой математики, «математизация» различных областей
науки, проникновение математических методов во многие сферы практической
деятельности, стремительный прогресс вычислительной техники приводят к смещению
основных усилий математиков в пределах установленных разделов математики и
появлению ряда новых математических дисциплин.

Исследования в области
общих проблем управления и смежных областях математики в сочетании с прогрессом
компьютерных технологий создают основу для автоматизации новых областей
человеческой деятельности.

Фрагмент текста работы:

1 ЗАРОЖДЕНИЕ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Исторически первым
вопросом в линейной алгебре было решение линейных уравнений. Построение теории
систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и
определителей, и привело к появлению теории векторных пространств.

Линейные уравнения как
уравнения линий и плоскостей стали естественным предметом изучения после
изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636 г.). Гамильтон в
своей работе 1833 года представлял комплексные числа в виде, как мы сейчас
сказали бы, двумерного реального векторного пространства, он был автором
открытия кватернионов, а также авторством термина «вектор». Теория матриц была
развита в трудах Кэли (1850-е гг.). Системы линейных уравнений в векторной
форме для матрицы впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867 г.).
Грассман в статьях 1844 и 1862 годов изучает то, что мы теперь назвали бы алгеброй,
и его формальное изложение, по сути, первой аксиоматической теории систем
алгебры. Аксиомы линейного пространства были явно сформулированы в работе Пеано
(1888 г.). [4, 85]

Алгебре предшествовала
арифметика как набор постепенно увеличивающихся практических правил для решения
повседневных задач. Эти правила арифметики сводились к сложению, вычитанию,
умножению и делению чисел, сначала только целых чисел, затем — постепенно и
очень медленно — и дробных. Характерное различие между алгеброй и арифметикой
состоит в том, что в нее вводится неизвестная величина; воздействия на него,
продиктованные условиями задачи, приводят к уравнению, из которого уже
находится само неизвестное. Намек на такую интерпретацию арифметических задач
можно найти в древнеегипетском папирусе Ахмеса (около 2000 г. до н.э.), где
желаемое значение называется словом «куча» и помечено соответствующим
иероглифом. Древние египтяне также решали гораздо более сложные задачи (например,
арифметические и геометрические достижения). И постановка задачи, и решение
были даны устно и только в виде конкретных числовых примеров.

В начале 20 века.
Расшифрованы многочисленные клинописные математические тексты из другой древней
культуры — вавилонской. Это открыло миру вершины математической культуры,
существовавшей уже за 4000 лет до наших дней. Вавилоняне умели решать различные
задачи с помощью больших специальных таблиц. Некоторые из них эквивалентны
решению уравнений второй степени и даже некоторого уравнения третьей степени.

В древности. Греция явно
отличалась геометрией. Древнегреческие геометры впервые сознательно устроили
исследование, каждый шаг которого обоснован логическим. контрольная работа.
Возможности этого метода настолько велики, что вопросы были переведены на язык
геометрии: величины интерпретировались как длины, произведение двух величин как
площадь прямоугольника и т. д. А на современном математическом языке, например,
название «квадрат» было сохранено для произведения собственной величины.
Единство научных знаний и практических приложений, характерное для древнейших
культур, было нарушено в древнегреческой математике: геометрия считалась
логичной. дисциплина и все виды исчислений, то есть вопросы арифметики и
алгебры, не считались предметами, достойными науки. Несомненно, эти направления
также продолжали развиваться (на основе вавилонских и египетских традиций), но
до наших дней сохранился только трактат Диофанта Александрийского «Арифметика».
Эту работу можно назвать первым серьезным шагом в развитии алгебраического
метода.

Первые элементы линейной
алгебры возникли из практических вычислительных задач, связанных с решением
линейных уравнений, в частности, арифметические методы, такие как тройное
правило и правило ложного положения, были сформулированы еще в древности.