Реферат на тему Замечательные кривые в математике

Фрагмент текста работы:

В современном мире при активном развитии техники имеется необходимость в знаниях о замечательных кривых. В природе эти кривые встречаются достаточно часто и имеют практическое приложение в жизни человека.
Цель работы: Изучить виды кривых и исследовать зависимость внешнего вида кривой от параметров, входящих в её уравнение.
Объект исследования: замечательные кривые.
Предмет – исследование зависимости очертаний и форм кривой от параметров, входящих в уравнение.
Уточним, что такое полярная система координат, ведь все кривые, нами исследуемые, заданы в ней.
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки O, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA (обозначается также и как Ox), называемого полярной осью, и масштаба для изменения длин. Положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки».(Рис.1)Установим связь между полярными и декартовыми координатами точки. Расположим начало декартовой прямоугольной системы координат в полюсе, таким образом, чтобы положительная полуось абсцисс совпадала с полярной осью (рис. 1) . Пусть точка M имеет декартовы координаты x и y и полярные координаты ρ и φ. Тогда
x=ρ cos⁡φ y=ρ sin⁡φ
И, наоборот, полярные координаты выражаются через декартовы по формулам:
ρ=√(x^2+y^2; ) tgφ=y/x
Для того, чтобы найти величину угла φ, нужно, используя знаки x и y, определить квадрант, в котором находится точка M, и, кроме того, воспользоваться тем, что 0≤φ<π.
Приведённые выше формулы называются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
Спираль — это винтообразная кривая, которая огибает условный центр или ось, постепенно удаляясь или приближаясь к ним.
Так же есть еще одно определение спирали — плоская кривая линия, многократно обходящую одну из точек на плоскости.
Принцип спирали часто встречается в природе, и этот символ получил широкое распространение еще на заре человечества.
Спираль можно встретить везде: это форма Галактики, вихри, смерчи, воронки, движение частиц, ДНК скручена в спираль, раковины, листочек, который расправляется, тоже выглядит как спираль.
Существуют множество видов спиралей, и все они очень интересны и красивы:
1) Архимедова спираль — лоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O, ее уравнение ρ=kφ
2) Спираль Ферма — спираль, задаваемая на плоскости в полярных координатах уравнением ρ=a√φ
3) Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая, уравнение гиперболической спирали: ρφ=a или ρ=〖aφ〗^(-1)
4) Логарифмическая спираль — плоская трансцендентная кривая. Ее уравнение в полярных координатах имеет вид ρ=ae^bθ
5) Спираль Фибоначчи — это графическое отображение удивительной последовательности чисел, которую называют «рядом», или «числами Фибоначчи».
6) Спираль Корню — кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги