Реферат на тему Вычислительные методы исследования в теории игр и моделировании

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ.. 2

1. Общие
понятия о математической экономике. 4

2. История
теории игр. 6

3. Вычислительные
методы исследования в теории игр и моделировании. 8

4. Пример
применения теории игр. 15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 21

СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 23

Введение:

Теория игр в том виде, в каком она известна
экономистам, социологам и биологам, получила свою первую общую математическую
формулировку Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1944). По причинам,
которые будут обсуждены позже, ограничения в их формальных рамках изначально
делали теорию применимой только при особых и ограниченных условиях. Эта
ситуация кардинально изменилась, способы, которые мы будем исследовать в
дальнейшем, за последние семь десятилетий, по мере того, как рамки были
углублены и обобщены. Доработки все еще ведутся, и к концу статьи мы рассмотрим
несколько нерешенных проблем, которые лежат на переднем крае этих разработок.
Однако, по крайней мере, с конца 1970-х годов можно с уверенностью сказать, что
теория игр является наиболее важным и полезным инструментом в наборе аналитика,
когда он сталкивается с ситуациями, в которых то, что считается лучшим
действием одного агента (для нее), зависит от ожиданий. То, что будет делать
один или несколько агентов, и то, что считается их лучшими действиями (для
них), аналогичным образом зависит от ожиданий в отношении нее.

Несмотря на то, что теория игр стала математически и
логически систематизированной только с 1944 года, теоретико-игровые идеи можно
найти у комментаторов, восходящих к древним временам. Например, в двух текстах
Платона, Laches и Symposium, Сократ вспоминает эпизод из битвы при Делиуме,
который некоторые комментаторы интерпретировали (вероятно, анахронично) как
связанный со следующей ситуацией. Представьте себе солдата на фронте, который
вместе со своими товарищами ждет отражения атаки врага. Ему может прийти в
голову, что если защита будет успешной, то маловероятно, что его личный вклад
будет существенным. Но если он останется, то рискует быть убитым или раненым —
очевидно, без всякого смысла. С другой стороны, если противник собирается
выиграть битву, то его шансы на смерть или ранение еще выше, и теперь
совершенно очевидно, что нет смысла, поскольку линия в любом случае будет
разбита. Исходя из этого рассуждения, может показаться, что солдату лучше
убежать, независимо от того, кто выиграет битву. Конечно, если все солдаты
рассуждают таким образом — а все они, по-видимому, должны, поскольку все они
находятся в одинаковых ситуациях — то это обязательно приведет к исходу, в
котором битва проиграна. Конечно, этот момент, раз уж он пришел в голову нам,
аналитикам, может прийти в голову и солдатам. Дает ли это им повод оставаться
на своих постах? Напротив: чем больше у солдат страха, что битва будет
проиграна, тем больше у них мотивации убраться с дороги. И чем больше у солдат
веры в то, что битва будет выиграна без участия какого-либо конкретного
человека, тем меньше у них причин оставаться и сражаться. Если каждый солдат
ожидает такого рода рассуждений со стороны других, все быстро впадут в панику,
и их напуганный командир будет разбит еще до того, как враг вступит в бой.

Задолго до того, как появилась теория игр, которая
показала аналитикам, как систематически думать о такого рода проблемах, она
пришла в голову некоторым настоящим военачальникам и повлияла на их стратегии.
Таким образом, испанский завоеватель Кортес, высадившись в Мексике с небольшим
отрядом, у которого были веские причины опасаться их способности отражать атаку
гораздо более многочисленных ацтеков, устранил риск того, что его войска могут
подумать об отступлении, сжег корабли на берегу. которые они приземлились.
Поскольку отступление, таким образом, стало физически невозможным, у испанских
солдат не было лучшего способа действий, чем стоять и сражаться — и, более
того, сражаться со всей решимостью, на которую они могли собрать. Более того, с
точки зрения Кортеса, его действия оказали разочаровывающее воздействие на
мотивацию ацтеков. Он позаботился о том, чтобы сжечь свои корабли очень
заметно, чтобы ацтеки наверняка увидели, что он натворил. Затем они рассуждали
следующим образом: любой командир, который может быть настолько уверен в том,
что намеренно разрушит свой собственный выбор, чтобы действовать осмотрительно,
если битва будет для него неудачной, должен иметь веские причины для такого
крайнего оптимизма. Нельзя мудро атаковать оппонента, у которого есть веская
причина (какой бы она ни была) для уверенности в том, что он не проиграет.
Поэтому ацтеки отступили в окружающие холмы, и Кортес одержал самую легкую
победу.

Разумное принятие решений имеет решающее значение для
успеха проектов. В управлении проектами теория игр используется для
моделирования процесса принятия решений участниками, такими как инвесторы,
менеджеры проектов, подрядчики, субподрядчики, правительства и заказчики.
Довольно часто у этих игроков есть конкурирующие интересы, а иногда их интересы
наносят прямой ущерб другим игрокам, что делает сценарии управления проектами,
хорошо подходящими для моделирования на основе теории игр.

Заключение:

Основное использование теории игр — это описание и
моделирование поведения человеческих популяций. Некоторые ученые считают, что,
находя равновесие в играх, они могут предсказать, как реальные человеческие
популяции будут вести себя в ситуациях, аналогичных ситуации игра изучается.
Этот особый взгляд на теорию игр подвергался критике. Утверждается, что
предположения, сделанные теоретиками игр, часто нарушаются при применении к
ситуациям реального мира. Теоретики игр обычно предполагают, что игроки
действуют рационально, но на практике человеческое поведение часто отклоняется
от этой модели. Теоретики игр отвечают, сравнивая свои предположения с
предположениями физики. Таким образом, хотя их предположения не всегда верны,
они могут рассматривать теорию игр как разумный научный идеал, подобный
моделям, используемым физиками. Однако эмпирическая работа показала, что в некоторых
классических играх, таких как игра о сороконожках, угадывают 2/3 средней игры и
в игре с диктатором, люди регулярно не играют в равновесие по Нэшу.
Продолжаются дискуссии о важности этих экспериментов и о том, полностью ли
анализ экспериментов отражает все аспекты соответствующей ситуации.

Некоторые теоретики игр, следуя работам Джона Мейнарда
Смита и Джорджа Р. Прайса, обратились к эволюционной теории игр, чтобы решить
эти проблемы. Эти модели предполагают отсутствие рациональности или ограниченную
рациональность со стороны игроков. Несмотря на название, эволюционная теория
игр не обязательно предполагает естественный отбор в биологическом смысле.
Эволюционная теория игр включает в себя как биологическую, так и культурную
эволюцию, а также модели индивидуального обучения (например, динамику фиктивной
игры).

Некоторые ученые рассматривают теорию игр не как
инструмент прогнозирования поведения людей, а как предположение о том, как люди
должны себя вести. Поскольку стратегия, соответствующая равновесию по Нэшу в
игре, представляет собой лучший ответ на действия других игроков — при условии,
что они находятся в (одном и том же) равновесии по Нэшу, — игра по стратегии,
являющейся частью равновесия по Нэшу, кажется уместной. Это нормативное
использование теории игр также подверглось критике.

Теория игр — основной метод, используемый в
математической экономике и бизнесе для моделирования конкурирующего поведения
взаимодействующих агентов. Приложения включают широкий спектр экономических
явлений и подходов, таких как аукционы, переговоры, слияния и ценообразование
приобретений, справедливое разделение, дуополии, олигополии, формирование
социальных сетей, вычислительная экономика, основанная на агентах, общее
равновесие, проектирование механизмов, и системы голосования; и в таких широких
областях, как экспериментальная экономика, поведенческая экономика,
информационная экономика, промышленная организация, и политическая экономия.

Это исследование обычно фокусируется на определенных
наборах стратегий, известных как «концепции решения» или «равновесия».
Распространено предположение, что игроки действуют рационально. В
некооперативных играх наиболее известным из них является равновесие по Нэшу.
Набор стратегий является равновесием по Нэшу, если каждая из них представляет
собой лучший ответ на другие стратегии. Если все игроки используют стратегии в
равновесии по Нэшу, у них нет одностороннего стимула отклоняться, поскольку их
стратегия — лучшее, что они могут сделать с учетом того, что делают другие.

Выигрыши в игре обычно представляют собой полезность
отдельных игроков.

Типовая статья по теории игр в экономике начинается с
представления игры, которая является абстракцией конкретной экономической
ситуации. Выбирается одна или несколько концепций решения, и автор демонстрирует,
какие наборы стратегий в представленной игре являются равновесиями
соответствующего типа. Экономисты и профессора по бизнесу предлагают два
основных использования (отмеченных выше): описательное и предписывающее.

Фрагмент текста работы:

1. Общие понятия о математической
экономике Математическая экономика — это применение
математических методов для представления теорий и анализа проблем экономики. По
соглашению, эти прикладные методы выходят за рамки простой геометрии, такой как
дифференциальное и интегральное исчисление, разностные и дифференциальные
уравнения, матричная алгебра, математическое программирование и другие
вычислительные методы. [1] [2] Сторонники этого подхода утверждают, что он
позволяет формулировать теоретические отношения со строгостью, общностью и
простотой [3].

Математика позволяет экономистам формировать
осмысленные, проверяемые предложения по широкому кругу и комплексным предметам,
которые труднее выразить неформально. Кроме того, язык математики позволяет
экономистам делать конкретные положительные утверждения по спорным или спорным
предметам, которые были бы невозможны без математики [4]. Большая часть
экономической теории в настоящее время представлена ​​в терминах математических
экономических моделей, набора стилизованных и упрощенных математических
соотношений, призванных прояснить предположения и последствия [5].

Широкие области применения включают:

ü проблемы
оптимизации в отношении целевого равновесия, будь то домашнее хозяйство,
коммерческая фирма или разработчик политики;

ü статический
(или равновесный) анализ, в котором экономическая единица (например,
домохозяйство) или экономическая система (например, рынок или экономика)
моделируются как неизменяющиеся;

ü сравнительная
статика в отношении перехода от одного равновесия к другому, вызванного
изменением одного или нескольких факторов;

ü динамический
анализ, отслеживающий изменения в экономической системе с течением времени,
например, в результате экономического роста.

Формальное экономическое моделирование началось в 19
веке с использования дифференциального исчисления для представления и
объяснения экономического поведения, такого как максимизация полезности, раннее
экономическое применение математической оптимизации. Экономика как дисциплина
стала более математической на протяжении первой половины 20 века, но введение
новых и обобщенных методов в период Второй мировой войны, как и в теории игр,
значительно расширило бы использование математических формулировок в экономике.

Такая быстрая систематизация экономической науки
встревожила критиков этой дисциплины, а также некоторых известных экономистов.
Джон Мейнард Кейнс, Роберт Хейлбронер, Фридрих Хайек и другие критиковали
широкое использование математических моделей человеческого поведения,
утверждая, что некоторые человеческие решения несводимы к математике.

Использование математики в целях социального и
экономического анализа восходит к 17 веку. Затем, в основном в немецких
университетах, появился стиль обучения, который касался конкретно подробного
представления данных, связанных с государственным управлением. Готфрид Ахенвалл
читал лекции таким образом, придумав термин «статистика». В то же время
небольшая группа профессоров в Англии разработала метод «рассуждений с помощью
цифр о вещах, относящихся к правительству» и назвала эту практику политической
арифметикой. Сэр Уильям Петти подробно писал о вопросах, которые позже будут
интересовать экономистов, таких как налогообложение, скорость обращения денег и
национальный доход, но, хотя его анализ был числовым, он отвергал абстрактную математическую
методологию. Использование Петти подробных числовых данных (наряду с Джоном
Граунтом) на какое-то время повлияло бы на статистиков и экономистов, хотя
работы Петти в значительной степени игнорировались английскими учеными.

Математизация экономики всерьез началась в 19 веке. По
большей части экономический анализ того времени составлял то, что позже было
названо классической экономикой. Предметы обсуждались и обходились без них с
помощью алгебраических средств, но исчисление не использовалось. Что еще более
важно, до работы Иоганна Генриха фон Тюнена «Изолированное государство» в 1826
году экономисты не разрабатывали явных и абстрактных моделей поведения для
применения инструментов математики. Модель использования сельскохозяйственных
земель Тюнена представляет собой первый пример маржинального анализа. Работа
Тюнена была в основном теоретической, но он также собирал эмпирические данные,
чтобы попытаться поддержать свои обобщения. По сравнению со своими
современниками, Тюнен строил экономические модели и инструменты вместо того,
чтобы применять предыдущие инструменты к новым проблемам.

Между тем, новая когорта ученых, обученных
математическим методам физических наук, тяготела к экономике, пропагандируя и
применяя эти методы к своему предмету [3], и сегодня описывается как
переходящая от геометрии к механике [4]. К ним относятся W.S. Джевонс,
представивший в 1862 году работу по «общей математической теории политической
экономии», в которой был изложен план использования теории предельной
полезности в политической экономии [5]. В 1871 году он опубликовал «Принципы
политической экономии», заявив, что предмет как наука «должен быть
математическим просто потому, что он имеет дело с количествами». Джевонс
ожидал, что только сбор статистических данных о ценах и количествах позволит
рассматриваемому предмету стать точной наукой. Другие предшествовали и
следовали за расширением математических представлений экономических проблем.

Курно,
профессор математики, в 1838 году разработал математический подход к дуополии —
рыночному состоянию, определяемому конкуренцией между двумя продавцами. Такой
подход к конкуренции, впервые опубликованный в «Исследованиях математических
принципов богатства», называется дуополией Курно. Предполагается, что оба
продавца имели равный доступ на рынок и могли производить свои товары
бесплатно. Далее предполагалось, что оба товара однородны. Каждый продавец
будет варьировать свой выпуск в зависимости от выпуска другого, а рыночная цена
будет определяться общим поставленным количеством. Прибыль для каждой фирмы
будет определяться путем умножения их выпуска на рыночную цену за единицу
продукции. Дифференциация функции прибыли по количеству, поставляемому для
каждой фирмы, оставила систему линейных уравнений, совместное решение которых
дало равновесные количество, цену и прибыль. Вклад Курно в математизацию
экономики десятилетиями игнорировался, но в конечном итоге оказал влияние на
многих маржиналистов. Модели дуополии и олигополии Курно также представляют
собой одну из первых формулировок некооперативных игр. Сегодня решение можно
представить в виде равновесия по Нэшу, но работы Курно опередили современную
теорию игр более чем на 100 лет.