Реферат на тему Выбор порядка тригонометрического полинова для регрессионной модели эксперимента

Содержание:

Введение 3
1. Выбор порядка тригонометрического полинома 4
2. Регрессионный анализ и планирование эксперимента 8
3. Модель полиномиальной регрессии 15
Заключение 18
Список использованной литературы 19

Введение:

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.
Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.
Регрессионные модели Фурье широко используются для описания периодических явлений в различных областях. Традиционными сферами применения являются машиностроение, медицина, сельское хозяйство и биология.
Хорошо известно, что использование подходящего плана позволяет существенно повысить точность оценок параметров регрессионной модели. Для оценки параметров тригонометрической регрессии обычно используется метод наименьших квадратов.
Цель работы: Выбор порядка тригонометрического полинома для регрессионной модели эксперимента.
Задачи: 1. Выбор порядка тригонометрического полинома;
2. Регрессионный анализ и планирование эксперимента;
3. Модель полиномиальной регрессии.

Заключение:

При пассивном эксперименте исследователь не имеет возможности воздействовать на изучаемый объект. Вследствие того, что на значение выходного параметра помимо входного фактора влияет фактор случайности. Эта зависимость не является однозначно определенной и в простейшем виде может быть представлена аддитивной математической моделью.
Если экспериментальные данные нанести на график, то значимость (у) от (х) будет диффузной (расплывчатой). Такая не вполне определенная зависимость называется регрессионной, а зависимость приведенного вида представляет собой регрессию. Линия, наилучшим образом выравнивающая зависимость средних значений называется уравнением регрессии. Регрессия – это закон изменения условного математического ожидания выходной величины в зависимости от изменения входной величины.
Задача изучения механизма явления считается решенной, если найдена регрессионная модель и оценены статистические характеристики случайных отклонений. Регрессионная модель является приближенной оценкой истинной функциональной зависимости. Регрессионную модель принято записывать в виде:
Регрессионная модель – это аналитическое описание линии регрессии. Если экспериментальные данные нанести на график, то линии регрессии можно аппроксимировать прямой, участком синусоиды, параболы, эллипса и т.п. Большую трудность при подборе вида аппроксимирующих функций оказывает разброс экспериментальных данных относительно предполагаемой кривой. Этот разброс определяется фактором случайности на выходной параметр.
Когда зависимости плохо интерпретируемы, используют быстрые и простые графические методы, например, метод контура, метод медианных центров.

Фрагмент текста работы:

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.
Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.
Регрессионные модели Фурье широко используются для описания периодических явлений в различных областях. Традиционными сферами применения являются машиностроение, медицина, сельское хозяйство и биология.
Хорошо известно, что использование подходящего плана позволяет существенно повысить точность оценок параметров регрессионной модели. Для оценки параметров тригонометрической регрессии обычно используется метод наименьших квадратов.
Цель работы: Выбор порядка тригонометрического полинома для регрессионной модели эксперимента.
Задачи: 1. Выбор порядка тригонометрического полинома;
2. Регрессионный анализ и планирование эксперимента;
3. Модель полиномиальной регрессии.
1. Выбор порядка тригонометрического полинома
На практике мы часто сталкиваемся с периодическими функциями, которые имеют следующее свойство: f(x+T) = f{x), где Т > 0 называется периодом функции. Например, функции, определенные на замкнутых плоских или пространственных кривых, могут рассматриваться как периодические функции. Полиномиальная интерполяция не подходит для таких зависимостей, так как алгебраические полиномы не являются периодическими функциями. Поэтому мы обратимся к интерполяции с использованием тригонометрических полиномов. Пусть период Т равен 2л. Предположим, что заданы значения у0, …, г/2Лг в различных точках х0,…, X2N е [0> 2л) [4]. Тогда существует единственный тригонометрический полином Qx(x), удовлетворяющий условию:
Тригонометрические интерполяционные полиномы можно рассматривать как приближенный ряд Фурье, где интегралы, определяющие коэффициенты этого ряда, вычисляются по методу прямоугольников для равномерной сетки [11].
Для вычисления значения тригонометрического интерполяционного полинома в некоторой точке х следует использовать процедуру, аналогичную схеме Горнера для алгебраических полиномов. Только теперь рекурентные формулы имеют следующий вид
Следовательно, вычисление значения тригонометрического полинома в точке х требует только вычисления функций sin(x) и cos(x), 8N умножений и 6N сложений.
Пример тригонометрическая интерполяция. Рассмотрим некоторые значения уПУ заданные в точках хп, как показано в таблице:
Таблица
О — данные; -тригонометрический интерполяционный полином;
— интерполяционный полином Ньютона.
Хорошо видно, что тригонометрический полином лучше представляет исходные данные, чем полином Ньютона. Более того, Qa(2u) = 0, а Р4(2л) « 19.2, что демонстрирует непригодность полиномов для интерполяции периодических функций [2].
Итак, на основе приведенной дисперсии можно определить стратегию введения дополнительных компонентов ряда. Обычно наблюдается следующая ситуация: с увеличением порядка аппроксимирующего ряда дисперсия убывает на одном участке достаточно быстро, а на другом участке медленно, и поэтому в рамках заданной точности можно уменьшить количество элементов со второго участка, незначительно увеличивая погрешность аппроксимации. Потому в рамках заданной точности можно выбрать порядок (число гармоник) аппроксимирующего полинома; чаще всего приходится решать другую задачу. Найти такой минимально возможный порядок аппроксимирующего ряда, чтобы, незначительно уступая в погрешности, получить наиболее компактную форму аппроксимирующего ряда, т.е. повышать порядок полинома необходимо до какого-то значения.
 
2. Регрессионный анализ и планирование эксперимента
При пассивном эксперименте исследователь не имеет возможности воздействовать на изучаемый объект. Вследствие того, что на значение выходного параметра помимо входного фактора влияет фактор случайности. Эта зависимость не является однозначно определенной и в простейшем виде может быть представлена аддитивной математической моделью:
,
где Е – случайные отклонения.
Если экспериментальные данные нанести на график, то значимость (у) от (х) будет диффузной (расплывчатой). Такая не вполне определенная зависимость называется регрессионной, а зависимость приведенного вида представляет собой регрессию. Линия, наилучшим образом выравнивающая зависимость средних значений называется уравнением регрессии. Регрессия – это закон изменения условного математического ожидания выходной величины в зависимости от изменения входной величины. Для линейного случая уравнение регрессии имеет вид:
,
где α – коэффициенты регрессии.
Задача изучения механизма явления считается решенной, если найдена регрессионная модель и оценены статистические характеристики случайных отклонений. Регрессионная модель является приближенной оценкой истинной функциональной зависимости.
Регрессионная модель – это аналитическое описание линии регрессии. Если экспериментальные данные нанести на график, то линии регрессии можно аппроксимировать прямой, участком синусоиды, параболы, эллипса и т.п. Большую трудность при подборе вида аппроксимирующих функций оказывает разброс экспериментальных данных относительно предполагаемой кривой. Этот разброс определяется фактором случайности на выходной параметр [8].