Содержание:

Введение. 3

1.        История. 4

2.
Описание. 5

2.1.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. 5

1.1.       Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова. 6

1.2.       Энергетический
метод построения функций Ляпунова. 9

3.
Применение и проблемы.. 11

3.1.
Общие сведения. 11

3.2.
Анализ устойчивости ходьбы с использованием первого метода Ляпунова  11

3.3.
Проблемы применения теории устойчивости Ляпунова к реальным системам. 14

Заключение. 16

Список
литературы.. 17

Введение:

Различные типы устойчивости могут обсуждаться для решений дифференциальных
уравнений или разностных уравнений, описывающих динамические системы . Наиболее
важный тип относится к устойчивости решений вблизи точки равновесия. Это может обсуждаться
по теории Александра Ляпунова. Проще говоря, если решения, которые начинаются вблизи
точки равновесия Х_е оставаться рядом Х_е тогда навсегда Х_е
является устойчивым по Ляпунову . Сильнее, если Х_е Ляпунова и все решения,
которые начинаются вблизи Х_е сходиться к Х_е, тогда Х_е
является асимптотический устойчивым . Понятие экспоненциальной устойчивости гарантирует
минимальную скорость убывания, т. Е. Оценку того, как быстро сходятся решения. Идея
устойчивости по Ляпунову может быть распространена на бесконечномерные многообразия,
где она известна как структурная устойчивость , которая касается поведения различных,
но "близких" решений дифференциальных уравнений. Устойчивость ввода к
состоянию (ISS) применяет понятия Ляпунова к системам с входами.

В ограниченной задаче трех тел орбиты Ляпунова представляют собой
искривленные траектории вокруг лагранжевой точки, которые полностью лежат в плоскости
двух первичных тел, в отличие от гало-орбит и орбит Лиссажу , которые также движутся
выше и ниже плоскости.

Интерес к нему внезапно взлетел в период холодной
войны, когда было обнаружено, что так называемый «второй метод Ляпунова»
(см. Ниже) применим к устойчивости аэрокосмических систем наведения,
которые обычно содержат сильные нелинейности, которые не поддаются лечению другими
методами. В это время появилось большое количество публикаций в литературе по системам
управления. [3] [4] [5] [6] [7] В последнее время понятие показателя Ляпунова
(связанное с первым методом обсуждения устойчивости по Ляпунову) получило широкий
интерес в связи с теорией хаоса., Методы устойчивости
по Ляпунову также применялись для нахождения равновесных решений в задачах назначения
трафика. [8]

Заключение:

Выводом является подведение итогов каждой из глав, а именно:

1. Теория устойчивости — техническая и
физико-математическая дисциплина,
изучающая закономерности поведения систем под действием внешних
воздействий.

В аналитическом аспекте является разделом теории
дифференциальных уравнений. В прикладном аспекте наибольшее развитие получила
теория устойчивости механических систем, поскольку именно механика,
как старейшая наука, впервые столкнулась с проблемами
устойчивости. Эйлер впервые строго поставил и решил задачу
устойчивости состояния равновесия механический системы — стержня,
сжатого сжимающей силой (эластика Эйлера).

В наиболее общем виде теория устойчивости была
разработана А. М. Ляпуновым, сформулировавшим и доказавшим
основные теоремы теории устойчивости движения. Ляпунов по праву
считается создателем теории устойчивости. 

1.     Произведено
математическое описание

3. Описаны основные проблемы в применении, и области, где
это возможно применять

Фрагмент текста работы:

1.    
История

Устойчивость по Ляпунову названа в честь русского математика
Александра Михайловича Ляпунова , защитившего диссертацию
«Общая проблема устойчивости движения» в Харьковском университете в 1892 году. [1]А.
М. Ляпунов был пионером в успешных попытках разработать глобальный подход к анализу
устойчивости нелинейных динамических систем по сравнению с широко распространенным
локальным методом линеаризации их относительно точек равновесия. Его работа, первоначально
изданная на русском языке, а затем переведенная на французский, в течение многих
лет получала мало внимания. Математическая теория устойчивости движения, основанная
А. М. Ляпуновым, значительно опередила время ее внедрения в науку и технику. Более
того, Ляпунов сам не применял эту область, его собственный интерес заключался в
устойчивости вращающихся жидких масс при астрономическом применении. У него не было
докторантов, которые следили за исследованиями в области стабильности, и его собственная
судьба была ужасно трагичной из-за русской революции 1917 года[ цитата
нужна ] . В течение нескольких десятилетий теория устойчивости полностью
исчезла. Российско-советский математик и механик Николай Гурьевич Четаев,
работавший в Казанском авиационном институте в 1930-х годах, был первым, кто осознал
невероятные масштабы открытия, сделанного А. М. Ляпуновым. На самом деле его фигура
как великого ученого сопоставима с личностью А.М. Ляпунова. Вклад в теорию Н. Г.
Четаева [2] был настолько значительным, что многие математики, физики
и инженеры считают его прямым преемником Ляпунова и следующим научным потомком в
создании и развитии математической теории устойчивости.