Введение:

Теория игр — это использование математических
методик для выработки оптимальных стратегических решений в играх.

Под теорией игр понимается подраздел
математической экономики, который изучает разрешение конфликтных ситуаций среди
игроков и уровень оптимальности их стратегических планов. Конфликты возникают в
разных сферах деятельности людей, они могут быть экономические, социальные,
политологические, биологические, кибернетические, а иногда даже военные.
Конфликтом могут являться практически любые ситуации, в которых затрагиваются
интересы более одного участника, в теории игр их принято называть игроками.
Каждому игроку соответствует некоторый стратегический набор, который он может
использовать. При пересечении стратегий игроков возникает конкретная ситуация,
дающая каждому игроку некоторый результат, который называется выигрышем,
отрицательным или положительным. При определении стратегического плана
необходимо принимать во внимание не только свою максимальную выгоду, но и
вероятные действия соперника и их воздействие на общее положение дел.

Основные элементы теории игр возникли ещё в
восемнадцатом веке, когда началась эпоха Просвещения, и появились основы
экономической теории. Но основные математические положения и прикладные моменты
изложили в своей работе «Теория игр и экономическое поведение» в 1944 году Джон
фон Нейман и Оскар Моргенштерн.

Целью данной работы является изучение особенностей
решение игр по методике Неймана-Моргенштерна.

Заключение:

Таким образом, можно говорить о том, что в своей
работе «Теория игр и экономическое поведение» Моргенштерн и Нейман раскрыли
определение «игры». «Игра» по определению Оскара Моргенштерна и Джона Фон
Неймана – это деятельность двух иди более участников, которые имеют
определенные условия выигрыша и проигрыша. В рамках этой игры все участники
распоряжаются ресурсами и взаимодействуют. Каждый игрок преследует цель
«выиграть» и совершает тот либо иной ход. Данная теория до 50-ых годов 20 века
никакой практической ценности не представляла.

С течением времени теория игр Неймана и
Моргенштерна ушла далеко вперед. Были найдены решения для большого числа
случаев с участием п игроков и ненулевой суммой, то есть так называемое
«некооперативное равновесие по Нэшу». Все это, на основе концепции, выдвинутой
Нейманом и Моргеншетрном, было связано со старой идеей «ядра» экономики чистого
обмена. Каждый из рынков можно было рассматривать в качестве отдельного «ядра»
торговцев, которые постоянно заключали друг с другом бартерные сделки и, с
высокой вероятностью, создающих на кооперативных началах коалиции с другими
торговцами. Это было обусловлено тем, что торговать данным рыночным игрокам
удобнее вместе, недели поодиночке. По мере увеличения количества торговцев формировалась
и ценовая система, которая способна была дать те же результаты, которые могла
бы дать совершенная некооперативная конкуренция. Само по себе понятие «ядра»
экономики уже естественным образом предполагает использование теории игр, и
именно по этому поводу она сравнительно недавно сомкнулась с общей теорией
конкурентного равновесия и с экономической теорией благосостояния. Во многом
это стало возможным той теории, которую в середине прошлого века разработали
Моргенштерн и Нейман.

Фрагмент текста работы:

Решение игр по Нейману-Моргенштерну

В понятие «игра», согласно мнению Моргенштерна и
Неймана, входит описание деятельности двух иди более участников, имеющих
определенные условия выигрыша или проигрыша[1].
В рамках данной игры все участники способны распоряжаться ресурсами и
взаимодействовать друг с другом. Каждый игрок преследует цель «выиграть» и
совершает тот либо иной ход.

Под кооперативной игрой Моргенштерн и Нейман
понимали конфликт, в котором стороны имеют возможность общения между собой и
могут создавать группы, чтобы обеспечить достижение самого лучшего результата.
В качестве примера такой игры можно привести игру в Бридж, в которой набранные
очки каждого из карточных игроков подсчитываются отдельно, но выигравшей
становится пара игроков, собравшая самую большую сумму[2].
Некооперативные игры рассматривают сложившееся положение дел в самых мелких
подробностях и поэтому формируют наиболее точные итоги. Кооперативные изучают
ход игры в общем контексте. Невзирая на то, что два этих вида являются
противоположными по смыслу, Моргенштерн и Нейман, писали о том, что можно
объединить их стратегии, что возможно быстрее приведёт к оптимальному
результату, чем использование одной из них.

Процесс решения любой игры по методу
Неймана-Моргенштерна принято обозначать как «НМ-решение». Рассмотрим на
конкретных примерах специфику решения игр по данному методу.

Множество дележей V ⊂ E(v) называется НМ—решением игры v, если

·                  
из x, y ∈ V следует, что
x ­ y не может
иметь места;

·                  
если x /∈ V , то найдется
такой y ∈
V , что y ­ x.

Иными словами, НМ-решение удовлетворяет как условию
внутренней устойчивости (ни один делёж из V не доминирует другого), так и
условию внешней устойчивости (любой дележ, который не входит в V, доминируется
определенным дележом из V ).

Рассмотрим игру трёх лиц с постоянной суммой в
нормализованной форме. В данном случае, множество: