Реферат на тему Сущность математических объектов и их отличие от объектов других областей знания

Содержание:

Введение. 2

1
Реальные и мнимые математические объекты.. 4

2
Существенные и несущественные свойства математических объектов. Математические
понятия. 10

Заключение. 15

Список
использованных источников. 17

Введение:

Математика изучает окружающий нас мир, природные и
социальные явления, но изучает только особенности этих явлений. Например, вам
нужно рассчитать, сколько плиток вам нужно купить для облицовки стен, если
известно, что плитка имеет форму квадрата со стороной 20см. В этом случае не
имеет значения, какого цвета стена или из какого материала она сделана. Важно
знать только форму и размер этой стены. В этом случае мы отвлекаемся от всех
свойств рассматриваемого предмета и выбираем только его форму и размер. В результате
такой абстракции мы получаем математический объект — геометрическую фигуру.

В целом, математические объекты являются результатом
выделения из объектов и явлений окружающего мира особых количественных и
пространственных свойств и отношений и абстрагирования от всех других свойств.
Таким образом, математические объекты на самом деле не существуют. Все они были
созданы человеческим разумом в процессе исторического развития и существуют
только в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют
математический язык. Поэтому они говорят, что математические объекты являются
идеальными объектами, которые описывают реальные объекты.

Каждый объект имеет существенные и несущественные
особенности. Существенным признаком является тот, который обязательно
принадлежит объекту при любых условиях, без которых данный объект не может
существовать. Незначительный знак — это знак, отсутствие которого не влияет на
существование объекта. Ненужные характеристики могут изменяться, пока объект
остается прежним. Но если вы измените основные функции, то это будет другой
объект. Например, знак «иметь все равные стороны» для квадрата значим, а длина
стороны является незначительным атрибутом для указанного объекта.

Более того, формирование математических объектов не только
абстрагируется от многих свойств соответствующих объектов, но также приписывает
им такие свойства, которыми никакие реальные объекты не обладают (например, в
математическом объекте, таком как прямая линия, не только свойство Расширение
реальных объектов отражается, но и свойство неограниченной степени в обоих
направлениях, хотя ни один из реально существующих объектов не обладает этим
свойством).

В целом, абстрактность математики позволяет применять ее в
различных областях знаний, поскольку это мощный инструмент для понимания
природы и создания технологий.

Целью исследования является изучение математических
объектов. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить реальные и мнимые математические объекты;

2. Рассмотреть существенные и несущественные свойства
математических объектов;

3. Изучить математические понятия.

Заключение:

Реальные математические объекты — это идеальные объекты,
объективно присутствующие в природе; мнимые математические объекты — это
абстрактные идеальные объекты, которые присутствуют только в сознании субъекта
знания. В абстрактной форме представления как реальные, так и мнимые
математические объекты мысленно отождествляются с любыми символами или знаками
(или с конструкциями, состоящими из символов или знаков). Конкретной
абстрактной формой представления является, например, представление
математических объектов с помощью символов, обозначающих натуральные числа.

Таким образом, реальный математический объект является
идеальным, конечно же, арифметизируемым и допускает как абстрактные, так и
(обязательно) материальные формы представления, а воображаемый математический
объект является идеальным, не обязательно арифметическим, и допускает только
абстрактную форму представления. Еще раз, реальный математический объект, в отличие
от воображаемого, не является чисто абстрактным (существующим только в сознании
субъекта знания), но может быть абстрактно мыслимым и иметь абстрактную форму
представления, которая в данном случае является своего рода спекулятивной
моделью (своего рода) этого объекта.

Вместе реальные и воображаемые математические объекты
представляют мир математической реальности. Возникает вопрос, насколько объекты
исследования по математике соответствуют реальному миру? Практика, в
соответствии с которой созданные математические объекты имеют смысл только
путем описания соответствующей структуры в одной из множества теорий множеств,
общей концептуальной основой которой является теория Г. Кантора, стала широко
распространенной среди современных математиков. Следствием этого подхода является
то, что математика, основанная на канторовской теории множеств, превратилась в
математику канторовской теории множеств … современная математика изучает,
следовательно, конструкция, отношение которой к реальному миру является по
меньшей мере проблемной математикой, может быть уменьшена в простую игру,
происходящую в каком-то определенном искусственном мире.

В настоящее время существование фактически бесконечных
множеств стало догмой, в которую верит большинство математиков; Более того,
математики пытаются внушить веру в эту догму и других людей. В то же время мы
не можем указать ни одно фактически бесконечное множество в реальном мире —
здесь мы имеем дело с конструкцией, расширяющей реальный мир и качественно
выходящей за пределы пространства возможностей наших наблюдений. Таким образом,
утверждения о бесконечных множествах теряют свое феноменологическое содержание.

По нашему мнению, абстракция реальной бесконечности сама по
себе является концепцией, которая, скорее всего, не имеет ничего общего с реальным
миром, и подход к фактической бесконечности как «вещи в себе», поиск некоторого
скрытого смысла в этих глубинах, является не более, чем увлекательная «игра
ума».

Фрагмент текста работы:

1 Реальные и мнимые математические объекты

Познание мира математикой реальности неизбежно приводит к
следующим вопросам:

• Какова природа математических объектов и их онтологический
статус?

• математические объекты существуют вне нас из-за той же
необходимости, что и объекты материального мира, или только в нашем сознании в
форме воображаемых конструкций, состоящих из определенных знаков и символов?

• математические истины открыты (как законы природы) или
изобретены?

• Что является более фундаментальным понятием:
математический объект или математическая структура?

• полностью ли аксиомы определяют или только описывают
математическую структуру?

В математике есть ряд областей, в рамках которых их
приверженцы пытаются дать ответы на эти вопросы.

Интуиционизм отвергает математические объекты в любом
существовании, независимом от мышления, и допускает определенность таких
объектов только тогда, когда дан метод их построения. Любое утверждение о
существовании определенного математического объекта всегда должно содержать
способ его построения, в результате чего интуиционистская логика не распознает
законы исключенного третьего (в бесконечной области объектов) и устранения двойного
отрицания [ 8].

Формализм идентифицирует математические объекты, включая
натуральные числа, с некоторым конечным набором символов, которые не имеют
какой-либо объективной интерпретации, и рассматривает математические
утверждения как результат манипулирования этими символами в соответствии с
предопределенными правилами, которые полностью определяют некоторую структуру.
При таком подходе математическим объектам отводится роль некоего
«вспомогательного средства», позволяющего получить реальное (истинное) в
математическом смысле структуры. Формализм напрямую не ставит вопрос о
существовании или происхождении математических объектов. Любые абстрактно
мыслимые математические объекты считаются существующими, включая фактически
бесконечные множества, при условии, что аксиомы соответствующей теории, включая
закон исключения третьей, не приводят к противоречию.