Реферат на тему Спектральный и гармонический анализ

Содержание:

Оглавление

Введение 2

1. Спектральный и гармонический анализ временных рядов 4

2. Работа на компьютере 5

3. Гармонический анализ временных рядов……………………………………….12

Заключение 15

Список использованной литературы 16

Введение:

Общепринятый способ анализа структуры стационарных временных рядов — это использование дискретного преобразования Фурье для оценки спектральной плотности или спектра ряда. Этот метод может применяться:

для получения описательных статистик одного временного ряда или описательных статистик зависимостей между двумя временными рядами;

для выявления периодических и квазипериодических свойств рядов;

для проверки адекватности моделей, построенных другими методами;

для сжатого представления данных;

для интерполяции динамики временных рядов.

Точность оценок спектрального анализа можно повысить за счет использования сглаживающих окон и методов усреднения.

Для анализа необходимо выбрать одну или две переменные и задать следующие параметры:

размерность временного шага анализируемого ряда, необходимую для согласования результатов с реальной временной и частотной шкалами;

длину к анализируемого отрезка временного ряда в виде числа включаемых в него измерений;

сдвиг очередного отрезка ряда к0 относительно предыдущего;

тип временного окна сглаживания для подавления в спектре так называемого эффекта вытекания мощности;

тип усреднения частотных характеристик, вычисленных на последовательных отрезках временного ряда.

Результаты анализа включают спектрограммы — значения характеристик амплитудно-частотного спектра и значения фазочастотных характеристик. В случае кросс-спектрального анализа результаты — это также значения передаточной функции и функции когерентности спектра. Результаты анализа могут включать и данные периодограмм.

Полезны графики амплитудного спектра и фазы, а в случае кросс- спектрального анализа — также и графики когерентности и передаточной функции.

Спектральный анализ может быть проведен повторно с преобразованием исходного временного ряда. Так, если в процессе выявлены сильные сезонные колебания и требуется провести более детальное исследование несезонных закономерностей, то перед повторным анализом необходимо подавить сезонные изменения трансформацией временного ряда посредством фильтрации, сезонного центрирования, нормирования или дифференцирования.

Заключение:

Гармонический анализ — это раздел математики, связанный с представлением функций или сигналов в виде суперпозиции основных волн, а также изучение и обобщение понятий рядов Фурье и преобразований Фурье (то есть расширенная форма анализа Фурье).

За последние два столетия он стал обширным предметом с приложениями в таких разнообразных областях, как теория чисел, теория представлений, обработка сигналов, квантовая механика, анализ приливов и нейробиология. Термин «гармоника» возникла как древнегреческие слова harmonikos, что означает «искусный в музыке».

В физических задачах на собственные значения он начал означать волны, частоты которых кратны друг другу, как и частоты гармоник музыкальных нот, но этот термин был обобщен за пределы его первоначального значения. Классическое преобразование Фурье на R n все еще является областью постоянных исследований, особенно в отношении преобразования Фурье для более общих объектов, таких как умеренные распределения.

Например, если мы наложим некоторые требования на распределение f, мы можем попытаться перевести эти требования в терминах преобразования Фурье f.

Теорема Пэли – Винера является примером этого. Из теоремы Пэли – Винера сразу следует, что если f — ненулевое распределение с компактным носителем (включая функции с компактным носителем), то его преобразование Фурье никогда не имеет компактного носителя. Это очень элементарная форма принципа неопределенности в настройке гармонического анализа. Ряды Фурье удобно изучать в контексте гильбертовых пространств, которые обеспечивают связь между гармоническим анализом и функциональным анализом

Фрагмент текста работы:

1. Спектральный и гармонический анализ временных рядов

Теория спектрального анализа (СА) основана на равносильности представления функций во временной и частотной областях с помощью преобразования Фурье. Фундаментом СА временных рядов является теорема Винера–Хинчина, которая устанавливает связь между двумя характеристиками случайного процесса: спектральной плотностью мощности и автоковариационной функцией.

На практике из-за неполноты имеющейся информации приходится иметь дело не со строгими характеристиками (СП, АКВФ), а только с их оценками: периодограммой и коррелограммой, соответственно.

Некоторое представление о характере сигнала могут дать его энергия или мощность, но более полное — разложение по отдельным компонентам или простым колебаниям. Аналогом такого подхода является описание человека по его носу, глазам, лбу и т.п. Идея СА заключается в трансформации области анализа ряда: исходный ряд есть функция времени, а СА осуществляет изучение свойств ряда в частотной области. Переход от исходного временного ряда f(t) к частотному представлению проводится посредством выражений

Здесь f(t) — временной ряд; F(ω) — спектральная