Реферат на тему Слабая сходимость случайных элементов

Содержание:

Введение 3
1. Общее понятие сходимости в статистике, ее виды, свойства и взаимосвязь 5
2. Сущность, основные особенности слабой сходимости случайных элементов 8
Заключение 14
Список использованной литературы 15

Введение:

Актуальность темы. Основным отличием слабой сходимости от остальных видов сходимости является то, что от случайных элементов не требуется, чтобы они были определены на одном вероятностном пространстве, так как условия сходимости формулируются с использованием только их функций распределения.
Также можно отметить и тот факт, что любые два вида сходимости неэквивалентны. Практическое значение имеют, в основном, слабая сходимость и сходимость в среднеквадратическом потому что они позволяют производить приближенные вычисления вероятностей и математических ожиданий и заменять одни математические модели другими.
Остальные виды сходимости используются в основном при доказательстве слабой сходимости или исследовании качественных свойств модели. Поэтому более подробно исследуем слабую сходимость, что и определило тему реферата: «Слабая сходимость случайных элементов».
Цель исследования – исследовать и проанализировать сущность, основные свойства слабой сходимости случайных элементов.
Объект исследования: сходимость в математической статистике.
Предмет исследования: слабая сходимость случайных элементов.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике;
2. дать общее представление о сходимости в математической статистике, ее видах и их взаимосвязи;
3. определить и проанализировать понятие слабой сходимости случайных элементов;
4. на основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух пунктов, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 15 страниц.

Заключение:

Таким образом, на основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Сходимость последовательности случайных величин к некоторой предельной случайной величине имеет широкое применение в статистике и теории случайных процессов.
Есть в математической статистике такие виды сходимостей: сходимость по распределению, сходимость по вероятности (по мере), сходимость почти наверняка (почти везде), сходимость в среднеквадратическом.
2. В теории вероятностей в отличие от математического анализа рассматриваются несколько различных видов сходимости последовательности функций (случайных элементов) и их распределений. Это связано с тем, что в теории вероятностей принято пренебрегать маловероятными событиями и делать это можно по-разному.

Фрагмент текста работы:

В теории вероятностей существует несколько видов сходимости случайных величин. Сходимость последовательности случайных величин к некоторой предельной случайной величине имеет широкое применение в статистике и теории случайных процессов [1].
Виды сходимостей:
— Сходимость по распределению.
— Сходимость по вероятности (по мере).
— Сходимость почти наверняка (почти везде).
— Сходимость в среднеквадратическом.Список свойств между разными видами сходимости [2]:
1) Из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности:
.
2) Из сходимости по вероятности вытекает существование подпоследовательности, что совпадает почти наверняка:
.
3) Из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению:
.
4) Из сходимости в среднем следует сходимость по вероятности:
.
5) Из сходимости в среднем высшего порядка вытекает сходимость в среднем низшего порядка (оба порядка должны быть не менее 1):
,
при условии r ≥ s ≥ 1.
6) Из сходимости последовательности случайных величин к константе вытекает сходимость к константе по вероятности:
.
7) Если сходится по распределению до X и разница между и сходится по вероятности до 0, то тоже сходится по распределению до X:
.
8) Если сходится по распределению до X и сходится по распределению до константы С, тогда вектор сходится по распределению до (X, С).
.
Замечание: сходимость к константе, а не к случайной величине – существенное условие.
9) Если сходится по вероятности к X и сходится по вероятности к Y, тогда совместимый вектор сходится по вероятности к (X, Y):
.
10) Если совпадает по вероятности к X, если P(| | ≤ b) = 1 для всех n и некоторого числа b, тогда совпадает в среднем с r-м порядком в X для всех r ≥ 1.
11) Если последовательность случайных величин { } сходится к по распределению, то можно построить новое вероятностное пространство (Ω, F, P) и последовательность случайных величин { , n = 0,1,…}, определенных на нем, такое что имеет такое же распределение как для каждого n ≥ 0 и сходится к почти наверняка.
12) Если — это сумма N действительных независимых случайных величин: