Реферат на тему Применение определенного интеграла в жизни

Содержание:

Введение. 2

1. История интегрального исчисления. 3

2. Основные свойства определенного интеграла. 7

2.1 Условия существования определенного интеграла. 7

2.2 Методы вычисления определенного
интеграла. 8

3. Примеры применения определенного интеграла. 10

3.1 Для оценки дифференциации доходов населения. 10

3.2 Применение в экономике. 12

Заключение. 14

Список литературы.. 15

Введение:

Элементы
математического анализа занимают значительное место в области математики. Язык
производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В
курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений
исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на
наибольшее и наименьшее значения, вычисляются длины, площади и объемы
геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими
задачами не исчерпывается. В физике интеграл используют для вычисления работы
переменной силы, пути, пройденный телом, нахождения давление жидкости на
вертикальную пластинку, вычисление статических моментов и координат центра
тяжести плоской кривой; в биологии — для нахождения численности популяций,
биомассы популяций, средней длины пролета птиц. Приведенные примеры далеко не
исчерпывают возможных приложений определенного интеграла. Можно привести еще
массу примеров применения определенного интеграла.

Целью
данной работы является изучение возможностей применения
определенного интеграла в повседневной жизни.

Задачи
исследования:

1.
Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.

2.
Систематизировать и обобщить знания об определенном интеграле.

3.
Показать возможности использования определенного интеграла на практике.

Заключение:

Трудно назвать научную
область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных
объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для
описания и решения прикладных задач, является интегральное исчисление.

Рассмотренные в данной
работе примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости
определенного интеграла. Так в процессе выполнения были рассмотрены примеры
практических задач в области экономики, решаемые с помощью определенного интеграла.
Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список задач, которые используют
интегральный метод, но даже они показывают широкое применение этого метода при
решении реальных прикладных задач. Всё это подчеркивает значимость и
актуальность выполненной работы, и позволяет считать, что цель работы
достигнута.

Эта работа позволила нам
глубже понять и систематизировать знания об определенном интеграле и
возможностях его применения в различных областях науки. Рассмотренный материал
работы оказался нам очень полезен и в подготовке к выпускным экзаменам, и
возможно, пригодится и в дальнейшей нашей учебе.

Фрагмент текста работы:

1. История
интегрального исчисления

Символ
введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является
изменением латинской буквы S
(первой
буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero,
которое переводится как приводить в
прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция
интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная
функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer
означает целый.

В
ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.
Бернулли. Тогда же, в 1696г.,
появилось и название новой ветви математики — интегральное исчисление (calculus integralis),
которое ввел И. Бернулли.

Другие
известныетермины, относящиеся к интегральному
исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас
название первообразная функция
заменило более раннее “примитивная
функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus
переводится как “начальный”:  F(x)=  — начальная (или
первоначальная, или первообразная) для функции f(x),
которая получается из F(x) дифференцированием.

В
современной литературе множество всех первообразных для функции f(x)
называется также неопределенным
интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что
все первообразные функции
отличаются на произвольную постоянную. А  называют определенным интегралом (обозначение
ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Возникновение
задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд
задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика
предвосхитила идеи интегрального
исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач
играл исчерпывающий метод, созданный  Евдоксом
Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом
(ок. 287 — 212 до н. э.).

Однако
Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об
интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые
Среднего и Ближнего Востока в IX
— XV
веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде
арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они
не получили.

Деятельность
европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук
поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на
нахождение квадратур (задачи
на вычисление площадей фигур), кубатур
(задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.

Труды
Архимеда, впервые изданные в 1544
(на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое
внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед
предвосхитил многие идеи интегрального
исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти
идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики
XVII
столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда.
Активно применялся и другой метод — метод
неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например,
криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных
отрезков длиной f(x), которым тем не менее
приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx.
В
соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S =   бесконечно большого числа
бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые
в этой сумме — нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном
числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На
такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 —
1630 гг.) в своих сочинениях “Новая
астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия
винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например,
площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно
тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б.
Кавальери (1598 — 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В
XVII
веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению.
Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры
любой кривой  y =, где N — целое (т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров
тяжести. И. Кеплер при
выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И.
Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию
связи интегрирования и
дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению
функции в виде степенных рядов.

Однако
при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо   было выделить общие идеи, лежащие в основе
решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования,
дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц,
открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым
окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать
логические основы нового исчисления
и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное
и интегральное исчисление создано.

Методы
математического анализа активно
развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л.
Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных
функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального
исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский
(1801 — 1862 гг.), В. Я. Буняковский 
(1804 — 1889 гг.), П. Л. Чебышев 
(1821 — 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности,
результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через
элементарные функции. Строгое
изложение теории интеграла
появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О.
Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826
— 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 — 1917).

Ответы
на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были
получены с созданием К. Жорданом (1826 — 1922 гг.) теории меры. Различные
обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены
французскими математиками А. Лебегом (1875 — 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 —
1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.) [1,2].