Реферат на тему Применение алгоритмов евклида и ферма в современных криптографических системах
-
Оформление работы
-
Список литературы по ГОСТу
-
Соответствие методическим рекомендациям
-
И еще 16 требований ГОСТа,которые мы проверили
Введи почту и скачай архив со всеми файлами
Ссылку для скачивания пришлем
на указанный адрес электронной почты
Содержание:
Введение 3
1. Применение алгоритмов Евклида в современных криптографических системах 5
1.1. Алгоритм Евклида: понятие и история 5
1.2. Применение алгоритмов Евклида в современных методах защиты информации 7
2. Применение алгоритма Ферма 14
2.1. Теорема Ферма: основные понятия 14
2.2. Малая теорема Ферма и ее применение в криптосистемах 19
Заключение 23
Список литературы 24
Введение:
По мере развития цивилизации информации становилось всё больше, а необходимость её скрывать всё важнее и труднее. Всегда существовала секретная информация, которая могла бы привести к необратимым последствиям, будь она обнародована.
В работе рассмотрены история алгоритмов Евклида и Ферма и применение их в криптографии. Особое внимание уделено нескольким видам шифров. С помощью этих шифров и ключей к ним приведены примеры преобразования на основе рассмотренных алгоритмов.
Особое внимание уделено математическим основам криптографии и показано, как знание математики помогает составлять шифры и разгадывать их.
Цель работы: изучить применение алгоритмов Евклида и Ферма в современных криптографических системах.
Задачи:
- Алгоритм Евклида: понятие и история.
- Применение алгоритмов Евклида в современных методах защиты информации.
- Теорему Ферма: основные понятия.
- Малая теорема Ферма и ее применение в криптосистемах.
Объект: система РША
Предмет: алгоритм Евклида и Ферма.
Гипотеза: если использовать алгоритм Евклида в системе РША, то дешифровка текста будет занимать большой объем времени и больших затрат для расшифровки.
Методы исследования:
1. Методы экспериментально-теоретического уровня: анализ и синтез, индукция и дедукция, моделирование, гипотетический, логический методы.
2. Методы теоретического уровня: абстрагирование, идеализация, формализация, анализ и синтез, индукция и дедукция, аксиоматика, обобщение и т.д.
Методы теоретического уровня: метод системного анализа.
Новизна исследования определяется недостаточной доступностью к конкретным материалам по данной проблеме, а также отсутствием описания конкретных математических расчетов в системе РША. Исследование базируется на уже опубликованных материалах, посвященных криптографии и математике, так как в наше мобильное время видное место отводится проблеме информированной безопасности, то математическая криптография имеет неограниченные возможности для творческого поиска, мы позволили себе разработать ключи шифровки и дешифровки, используя в системе РША алгоритм Евклида, исходя из собственных представлений и знаний.
Практическая значимость. Результаты исследования будут представлять интерес для учащихся, которые увлекаются математикой и участвуют в олимпиадах по криптографии и математики. 
Заключение:
Для того, чтобы зашифровать сообщение, используя алгоритм Евклида, по методике РША, необходимо:
А) выбрать два простых числа;
Б) вычислить модуль системы;
В) выбрать открытый показатель;
Г) вычислить закрытый показатель;
Д) присвоить каждой букве алфавита номер;
Е) зашифровать каждую букву, используя ее номер (возвести номер буквы в степень, равную открытому показателю, разделить на модуль и взять остаток от деления);
Ж) записать шифрограмму.
Для того, чтобы расшифровать шифрограмму, необходимо:
А) разбить текст на отдельные последовательности цифра, количество которых равно количеству цифр в модуле;
Б) расшифровать каждую последовательность (возвести число в степень, равную закрытому показателю, разделить на модуль и взять остаток от деления);
В) записать буквы сообщения.
Конечно, никогда не может быть стопроцентной уверенности, что злоумышленник не сможет расшифровать перехваченную им шифрограмму. Речь может идти только о практической невозможности, лучше сказать, чрезвычайно малой вероятности расшифровки (Настолько малой, что ей можно пренебречь).
Фрагмент текста работы:
1. Применение алгоритмов Евклида в современных криптографических системах
1.1. Алгоритм Евклида: понятие и история
В математике Евклидов алгоритм или алгоритм Евклида является эффективным методом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел, наибольшее число, которое делит оба из них, не оставляя остатка. Он назван в честь древнегреческого математика Евклида, который впервые описал его в своих элементах (около 300 г. до н. э.). Это пример алгоритма, пошаговая процедура для выполнения вычисления по четко определенным правилам, и является одним из самых старых численных алгоритмов в общем пользовании. Его можно использовать для уменьшения фракций до их простейшей формы, и является частью многих других теоретико-числовых и криптографических расчетов [6].
Евклидов алгоритм основан на принципе, что наибольший общий делитель двух чисел не изменяется, если большее число заменяется его разностью с меньшим числом. 
Например, 21 - это 252 и 105 (252 = 21 × 12 и 105 = 21 × 5), и то же самое число 21 также является 105 и 147 = 252 − 105. 
Поскольку эта замена уменьшает большее из двух чисел, повторение этого процесса дает последовательно меньшие пары чисел, пока одно из двух чисел не достигнет нуля. Когда это происходит, другое число (тот, который не равен нулю) является GCD из исходных двух чисел. Обращая шаги вспять, GCD можно выразить как сумму двух исходных чисел, каждое из которых умножается на положительное или отрицательное целое число.
Например, 21 = 5 × 105 + (-2) × 252. 
Тот факт, что GCD (Величайший общий делитель) всегда может быть выражен таким образом, известен как идентичность Безу [2].
Версия описанного выше евклидова алгоритма (и по Евклиду) может принять много шагов вычитания, чтобы найти GCD, когда одно из заданных чисел намного больше, чем другое. Более эффективная версия алгоритма сокращает эти шаги, вместо этого заменяя большее из двух чисел его остатком, когда оно делится на меньшее из двух. С этим улучшением алгоритм никогда не требует больше шагов, чем в пять раз больше числа цифр (основание 10) меньшего целого числа. Это было доказано Габриэлем Ламе в 1844 году и знаменует собой начало теории вычислительной сложности. Дополнительные методы повышения эффективности алгоритма были разработаны еще в 20 веке.
Евклидов алгоритм имеет много теоретических и практических приложений. Он используется для приведения дробей к их простейшей форме и для выполнения деления в модульной арифметике. Вычисления с использованием этого алгоритма входят в состав криптографических протоколов, используемых для защиты интернет-коммуникаций, а также в методах взлома этих криптосистем путем факторизации больших составных чисел. Евклидов алгоритм может быть использован для решения диофантовых уравнений, таких как нахождение чисел, удовлетворяющих нескольким конгруэнциям в соответствии с китайской теоремой остатка, для построения непрерывных дробей, и найти точные рациональные приближения к реальным числам. Наконец, это основной инструмент для доказательства теорем в теории чисел, таких как теорема Лагранжа о четырех квадратах и единственности простых факторизаций. Оригинальный алгоритм был описан только для натуральных чисел и геометрических длин (вещественных чисел), но алгоритм был обобщен в 19 веке на другие типы чисел, такие как целые числа Гаусса и многочлены от одной переменной. Это привело к современным абстрактным алгебраическим понятиям, таким как евклидовы области.
