Реферат на тему Практическое применение рядов

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3
1. КЛАССИФИКАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЯДОВ…………….….5
1.1 Числовые ряды……………..………………………………………………5
1.2 Функциональные и степенные ряды………………………………………7
1.3 Тригонометрические ряды Фурье………………………………………..9
2. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ПРИ РАССМОТРЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
2.1 Применение рядов для вычисления функций и интегралов………….12
2.2 Применение рядов при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений …………………………………….13
2.3 Примеры использования рядов в экономических исследованиях……15
2.4 Представление сигналов и помех рядом Фурье………………………..18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….21
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………….22

Введение:

Ряды или бесконечные суммы являются одним из центральных понятий не только математического анализа, но и других разделов высшей математики. У математиков античности и средневековья, а также в трудах европейских математиков примерно до XVII века бесконечные ряды появлялись достаточно редко. Однако, с появлением работ И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, О. Коши и других выдающихся ученых, связанных с анализом бесконечно малых, бесконечные ряды вызывают уже всеобщий интерес и начинают использоваться в приближённых вычислениях, теории логарифмов, при интерполировании и интегрировании [1−3].
Первые результаты, связанные с понятием сходимости рядов и алгебраическими операциями над ними, были получены для числовых рядов. Вместе с тем, понятие бесконечного ряда и его суммы можно ввести не только для чисел, но и для других математических объектов, для которых определены сложение и понятие близости, позволяющее определить предел. Например, в анализе широко используются ряды из функций: степенные ряды, ряды Фурье, ряды Лорана. Членами ряда могут быть также векторы, матрицы и др. [4−12].
Где ряды Фурье могут применяться практически, и использует ли их кто-то кроме математиков-теоретиков? Оказывается, Фурье потому и знаменит на весь мир, что практическая польза его рядов буквально неисчислима. Их удобно применять там, где есть какие-либо колебания или волны: акустика, астрономия, радиотехника и т. д. [13−17]. Самый простой пример его использования: механизм работы фотоаппарата или видеокамеры. Если объяснять вкратце, эти устройства записывают не просто картинки, а коэффициенты рядов Фурье. И работает это везде – при просмотре картинок в интернете, фильма или прослушивании музыки. Именно благодаря рядам Фурье вы сейчас можете прочитать сообщение со своего мобильного телефона. Без преобразования Фурье нам не хватило бы никакой пропускной способности Интернет-соединений, чтобы просто посмотреть видео на YouTube даже в стандартном качестве.
В реферате рассмотрены вопросы, связанные с элементарной теорией бесконечных рядов. В частности, рассмотрены числовые и степенные ряды, а также тригонометрические ряды Фурье.
Работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы. В первом разделе приводятся основные понятия, связанные с числовыми и степенными рядами, а также рядами Фурье. Даются основные определения, формулируются признаки сходимости числовых рядов и обсуждаются вопросы сходимости рядов Фурье.
Во втором разделе рассматриваются вопросы, связанные с практическим использованием рядов. Приводятся конкретные примеры применения степенных рядов для вычисления значений сложных функций и определенных интегралов; излагаются два метода нахождения частных решений обыкновенных дифференциальных уравнений [18−20]. Возможность использования рядов в экономических расчетах показана на конкретном примере оценки возможной прибыли в зависимости от размера инвестиций. В заключительно параграфе раздела показана также возможность получения амплитудных и фазовых спектров ступенчатого сигнала при использовании рядов Фурье.
В заключении сформулированы основные результаты проведенных автором исследований.
Следует отметить, что рассмотренная в реферате элементарная теория рядов хорошо изучена, полученные результаты давно вошли в известные монографии и учебники, и новые публикации по этой теме практически отсутствуют. Поэтому в список литературы включены базовые монографии и пособия, опубликованные до 2015 года.

Заключение:

Изложенный выше материал позволяет сделать следующие выводы. Рассмотренные в настоящем реферате вопросы охватывают лишь малую часть теории бесконечных рядов, так как рассмотрены только числовые, степенные ряды и тригонометрические ряды. Вместе с тем для указанных типов приведены основные понятия, сформулированы признаки сходимости, показано отличие рядов Фурье от степенных рядов. Приведенные во втором разделе примеры показывают практическую возможность применения рядов в расчетно-исследователльской практике.
В современной математике рассматриваются более сложные объекты: ряды из систем ортогональных векторных функций, определенных в произвольных функциональных пространствах, ряды из функций, заданных на абстрактных множествах, ряды из неявных функций и др. Этот материал является объектом исследования функционального анализа, топологии, современной алгебры, теории нечетких множеств и выходит за рамки изучаемого предмета.

Фрагмент текста работы:

Пусть дана бесконечная числовая последовательность . Символ
(1.1)
называется числовым рядом или просто рядом. Числа называются членами ряда, а − общим членом ряда.
Число называется −й частичной суммой ряда (1.1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1.1) , то этот ряд называют сходящимся, а число − суммой числового ряда (1.1). В противном случае ряд (1.1) называют расходящимся.
При исследовании и использовании рядов основным вопросом является вопрос об их сходимости. Если ряд сходится, то его сумму всегда можно найти приближенно с любой заданной точностью, вычислив сумму достаточно большого числа его первых членов. Чем больше слагаемых будет удержано, тем более точное приближение даст их сумма для суммы исходного ряда. Этот путь нахождение суммы ряда является основным, так как только для небольшого числа рядов сумма может быть найдена точно, как, например, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Сформулируем некоторые свойства числовых рядов, которые упрощают исследование их сходимости и используются при рассмотрении прикладных задач. Так сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать. При этом:
• ряды и , где , сходятся или расходятся одновременно;
• если суммы сходящихся рядов и равны и соответственно, то ряды сходятся, и их суммы равны ;
• отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.
Необходимым условием сходимости ряда является выполнение условия
. (1.2)
Если , то ряд расходится.
Необходимое условие (1.2) не является достаточным для сходимости ряда, т.е. даже при его выполнении ряд может быть расходящимся. Классический пример такого рода дает расходящийся гармонический ряд

На практике для определения сходимости применяют различные признаки, в частности, признаки сравнения.
Пусть даны два ряда , с неотрицательными членами. Тогда:
• если для всех выполняются неравенства , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда − расходимость ряда ;
• если , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.
Сходимость ряда можно установить, используя специальные признаки. Наиболее часто используются предельные признаки Даламбера и Коши, основанные на оценке пределов и соответственно. Если , то рассматриваемый ряд сходится, а если − ряд расходится..