Реферат на тему Подстановки Эйлера

Содержание:

Введение. 3

1.
Подстановки Эйлера. Интегрирование квадратичных иррациональностей с помощью
первой подстановки Эйлера. 5

2.
Подстановки Эйлера. Интегрирование квадратичных иррациональностей с помощью
второй и третьей подстановок Эйлера. 9

Заключение. 14

Список
литературы.. 15

Введение:

Эйлер Леонард [4 (15) .4.1707, Базель, Швейцария, — 7 (18)
.9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Родился в семье бедного пастора
Пауля Эйлера. Образован сначала от отца, а в 1720-1724 годах в Базельском
университете, где посещал лекции по математике И. Бернулли.

Диапазон исследований Эйлера был исключительно широк,
охватывая все кафедры современной математики и механики, теории упругости,
математической физики, оптики, теории музыки, теории машин, баллистики, морских
наук, страхования и т. Около 3/5 работ Эйлера связаны с математикой, остальные
2/5 в основном с его приложениями.

Основной деятельностью Эйлера как математика было Развитие
математического анализа. Эйлер был создателем расчета вариаций, описанного в
работе "метод поиска изогнутых линий со свойствами максимума или минимума
…" (1744). Эйлер также обогатил дифференциальное и интегральное
исчисление в узком смысле этого слова (например, учение об изменении
переменных, теорема о однородных функциях, понятие двойного интеграла и
исчисление многих специальных интегралов).

Невозможно перечислить все теоремы, методы и формулы Эйлера,
используемые до сих пор, из которых лишь немногие появляются в литературе под
его именем [например, многоугольный метод Эйлера, подстановки Эйлера, константа
Эйлера, уравнения Эйлера , формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера,
формула Эйлера — Маклорина, Эйлера — формулы Фурье, характеристика Эйлера,
интегралы Эйлера, углы Эйлера].

Цель исследования – рассмотреть подстановки Эйлера.

Задачи:

— Подстановки Эйлера. Интегрирование квадратичных иррациональностей
с помощью первой подстановки Эйлера.

— Подстановки Эйлера. Интегрирование квадратичных иррациональностей
с помощью второй и третьей подстановок Эйлера.

Структура работы представлена введением, двумя разделами,
заключением и списком литературы.

Заключение:

Метод Эйлера для решения линейных систем алгебраических
уравнений является итеративным методом, который предполагает фиксацию исходных
данных достаточно близко к желаемому решению.

Метод Эйлера — простейший численный метод решения
обыкновенных систем дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом
Эйлером в 1768 году в работе "Integral Calculus". Метод Эйлера — это
явный одноступенчатый метод первого порядка точности, основанный на приближении
интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой. Сломанная линия
Эйлера.

Метод Эйлера исторически был первым методом численного
решения проблемы Коши. О. Коши использовал этот метод, чтобы доказать
существование решения проблемы Коши. Из-за низкой точности и нестабильности
вычислений метод Эйлера редко используется для практического поиска решений
проблемы Коши. Однако благодаря своей простоте метод Эйлера находит применение
в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задачах расчета
вариаций и ряде других математических задач.

Фрагмент текста работы:

1. Подстановки Эйлера. Интегрирование квадратичных
иррациональностей с помощью первой подстановки Эйлера Рассмотрим вычисление неопределенных интегралов с
использованием подстановок Эйлера. На этой странице приведены примеры
использования первой замены Эйлера, а вторая часть темы посвящена второй и
третьей заменам.

Нам нужна таблица неопределенных интегралов, а также Таблица
производных. Начнем с решения проблемы. Дана некоторая рациональная функция x и
√ax2 + bx + c, т. е. R (x, √ax2 + bx + c). Необходимо найти неопределенный
интеграл этой функции, то есть \ R (x, √ax2 + bx + c) dx. Кстати, если выражение
рациональная функция вызывает вопросы, советую взглянуть на заметку.

Суть подстановок Эйлера сводится к трем правилам [5]:

— Если a> 0, то положить √ax2 + bx + c = ± √ax + t.

— Если c> 0, то положить √ax2 + bx + c = xt ± √c.

— Если многочлен ax2 + bx + c имеет вещественные корни x1 и
x2, т. е. ax2 + bx + c = а (x-x1) (x — x2), то допустимы следующие замены: √ax2
+ bx + c = t (x — x1); √ax2 + bx + c = t (x — x2).

Использование знака " ± " означает, что
принимающий решение имеет право принимать любой знак (более или менее) — по
своему усмотрению. Например, если а> 0, то можно взять √ax2 + bx + c = — √ax
+ t, или можно взять √ax2 + bx + c = √ax + t.

Примечательно, что использование одной подстановки Эйлера не
исключает другой. Например, для корня √5×2 + 2x + 100 можно использовать как
первую подстановку (с 5> 0), так и вторую (с 100> 0). обычно используется
первая подстановка [3].

В общем, подстановки Эйлера часто приводят к сложным преобразованиям;
поэтому они в основном используются, когда уже невозможно вычислить Интеграл
другим способом.

Пример №1

Найти ∫dx√4×2+12x+15.

Решение

Подынтегральная функция 1√4×2+12x+15 является
рациональной функцией от √4×2+12x+15, посему можем использовать
подстановки Эйлера. Так как коэффициент перед x2 больше нуля
(т.е. 4>0), то используем первую подстановку Эйлера. В записи
первой подстановки участвует знак "±", означающий, что можно избрать
как "+", так и "–" [3].

√4×2+12x+15=−√4⋅x+t;√4×2+12x+15=−2x+t.

Что нам необходимо для того, чтобы использовать новую
переменную t? Нам нужно выразить старую переменную (т.е. x) через
новую. Возведём в квадрат обе части последнего равенства:

(√4×2+12x+15)2=(−2x+t)2;4×2+12x+15=4×2−4xt+t2;12x+15=−4xt+t2.

Теперь перебросим −4xt в левую часть полученного
равенства, а 15 – в правую часть. После этого выразим x через t:

12x+4xt=t2−15; x(12+4t)=t2−15;x=t2−154t+12.

Кстати сказать, теперь уже легко заменить √4×2+12x+15,
расположенный под интегралом. Вспоминая, что согласно сделанной замене √4×2+12x+15=−2x+t,
мы получим следующее:

√4×2+12x+15=−2x+t=−2⋅t2−154t+12+t=−2t2+304t+12+t(4t+12)4t+12==−2t2+30+4t2+12t4t+12=2t2+12t+304t+12=12⋅t2+6t+15t+3.

Последним элементом, подлежащим замене, является dx.
Так как dx=x′dt, получим:

dx=(t2−154t+12)′dt=14⋅(t2−15t+3)′dt=14⋅2t⋅(t+3)−(t2−15)⋅1(t+3)2dt=14⋅t2+6t+15(t+3)2dt.

Подводя итоги, запишем полученные результаты замен для корня
и dx:

√4×2+12x+15=12⋅t2+6t+15t+3;dx=14⋅t2+6t+15(t+3)2dt.

Осуществим замену в исходном интеграле, подставляя в него
полученные выражения:

∫dx√4×2+12x+15=∫14⋅t2+6t+15(t+3)2dt12⋅t2+6t+15t+3=12⋅∫dtt+3=12⋅∫d(t+3)t+3=12ln|t+3|+C.

Вспоминая, что t=√4×2+12x+15+2x, получим:

12ln|t+3|+C=12ln∣∣∣√4×2+12x+15+2x+3∣∣∣+C.

Ответ был получен. Кстати, тот же пример можно решить
гораздо быстрее, применив готовую формулу № 10 массива неопределенных
интегралов. Нетрудно подогнать Интеграл, данный в условии, к формуле # 10 — вам
просто нужно выбрать квадрат в радикальном выражении:

∫dx√4×2+12x+15=∫dx√(2x+3)2+6=12∫d(2x+3)√(