Реферат на тему основные особенности математического мышления

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ 5
ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ 8
СТИЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ 12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23

Введение:

Математика представляет собой сферу человеческих знаний, изучающая математические модели, которая отображает объективные свойства и связи. Также математикой предоставляются удобные способы описания различных явлений окружающего мира, выполняя таким роль языка науки. Математикой предоставляется методы изучения и познания реального мира, а также методы исследования как теоретические, так и практические.
По своей сути математика является наукой, изучающей пространственные формы и количественные отношения. Не менее интересные определения понятия «математика» были использованы в 19 веке представителями науки, не являющимися математиками.
Как указывал Ф. Энгельс: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и качественные отношения действительного мира».
В. Даль писал: «Математика – наука о велиматике. Математика может быть чистой и прикладной. Математика делится на арифметику и геометрию; первая располагает цифрами, вторая – протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа».
Современная математика объединяет в себе огромное количество математических теорий, таких как математическое моделирование, теория чисел, математическая статистика и теория вероятности, векторная алгебра, аналитическая и проектная геометрия и др.
Несмотря на огромное количество различных математических теорий, при первом знакомстве с ними возникает мнение об отсутствии у них общих черт, они имеют совместное центральное ядро, созданное внутренней эволюцией современной математической наукой. Особую роль в данной эволюции играет систематизация отношений, что существуют между различными математическими теориями. Конечным итогом эволюции стало возникновение «аксиоматического метода». В теории, построенной с аксиоматическим методом, начинают с небольшого количества первичных понятий, за счет которых формируются утверждения, известные как «аксиомы».
Иные понятия, что излучающиеся в теории, а также теоремы устанавливаются и выводятся через первичные понятия, а также из аксиом и определений. Теория приобретает рекурсивно структурированный вид, что указывает на ее некоторую схожесть с матрешкой, в которой понятия и их свойства как бы вложены друг в друга.
Необходимо отметить, что каждая математическая теория представляет собой цепочку высказываний, выводимых друг из друга в соответствии с правилами логики, то есть объединяющим началом математики является «дедуктивное рассуждение». Развитие математической теории в таком стиле представляет собой первый шаг в направлении к ее формализации.
 

Заключение:

Итак, на основании всего выше сказанного можно отметить, что математика представляет собой науку о количественных отношениях и пространственных формах реального мира, история которой начинается за много веков до нашей эры.
Анализируя историю развития математики, можно выделить несколько этапов, наиболее распространенной является классификация, разработанная академиком Колмогоровым А.Н.:
• Зарождение математики;
• Элементарная математика;
• Математика переменных величин;
• Современная математика.
Рассматривая математический способ мышления особое внимание следует уделить характеристике А.Я. Хинчиным математического мышления, а точнее, его конкретно-исторической форме – стиля математического мышления. Изучая сущность стиля математического мышления, им было выделено четыре общие для всех эпох черты, что в значительной мере отличают этот стиль от стилей мышления в других науках, а именно:
• доведение до предела доминирование логической схемы рассуждения;
• лаконизм;
• четкая расчлененность хода рассуждений;
• скрупулезная точность символики, формул, уравнений.
Стиль математического мышления представляет собой единство идеи и ее доказательства, обоснования и изложения.
Рассмотрев стили мышления великих математиков, можно отметить, что стиль каждого ученого является уникальным и присущим исключительно ему.
Формирование стиля математического мышления происходит под влиянием трех следующих критериев:
1. Личности ученого;
2. Специфических свойств математического знания;
3. Социально-культурного контекста данного времени, определяемым:
• спецификой культуры;
• господствующим мировоззрением;
• ориентацией эпохи;
• нацеленностью научного сообщества в текущий период.
Данные факторы во взаимодействии формируют насыщенность математических стилей как единство формального и содержательного, духовного и материального, фантастического и реального, гуманитарного и естественнонаучного и других элементов знания.
Если рассматривать стили мышления с точки зрения противопоставления, то можно выделить следующие виды:
1) содержательный стиль — формальный стиль;
2) дискретный – непрерывный.
3) платонистский – неплатонистский.
Следовательно, математический стиль мышления присущ довольно большому количеству ученых, не только математикам. При этом как ранее отмечалось он для каждого из них является индивидуальным.

Фрагмент текста работы:

РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
Основной целью изучения математики является расширение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.
Математика представляет собой науку о количественных отношениях и пространственных формах реального мира. Анализируя развития математики, можно выделить несколько основных периодов. Наиболее распространенной является классификация, выведенная академиком Колмогоровым А.Н.:
• Зарождение математики;
• Элементарная математика;
• Математика переменных величин;
• Современная математика. 
Началом периода элементарной математики принято считать VI – V век до нашей эры. К VI веку до нашей эры уже было собрано достаточно большой фактический материал. Как самостоятельную науку математику начинают воспринимать в Древней Греции. в это время применяется лишь ограниченное количество понятий, которые возникли для удовлетворение элементарных потребностей хозяйственной жизни. В этот период развития набирает такая наука как арифметика — наука о числе.
Во время развития элементарной математики возникает теория чисел, что планомерно сформировалась из арифметики. В это же время как буквенное исчисления возникает алгебра. Происходит обобщение труда больших чисел математиков, решающих геометрические задачи в стройную и строгую систему элементарной геометрии, геометрию Евликида, что была изложена в его книге Начала.
В XVII веке потребности естествознания и техники побудили ученых к созданию методов, что позволили математически изучить движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. Так  применение переменных величин в аналитической геометрии и разработка интегрального и дифференциального исчисления становится началом периода математики переменных величин. Одним из величайших открытий XVII века стало понятие бесконечно малой величины, что было введено Ньютоном и Лейбницем, а также создание основ анализа бесконечно малых. В это время на первый план выдвигается функция, которая становится основным объектом изучения. при изучении функции выводятся основные понятия математического анализу:
• предел;
• производная;
• дифференциал;
• интеграл.
К этому периоду также можно отнести теорию Декарта о методе координат. Возникает аналитическая геометрия, позволяющая анализировать геометрические объекты методами алгебры и анализа. При этом метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов. 
Стремительное развитие математики привело к тому, что в начале ХIX века возникла необходимость изучения вероятных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь, образовавшаяся между математикой и естествознанием, становится более сложной. Формируется много новых различных теорий, возникших вследствие возрастающих запросов естествознания и техники, а также внутренней потребности математики. Одним из основных примеров такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Стремительное развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, распространение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники стали причиной появлению новых математических дисциплин, таких как исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.
Следует отметить, что математическая теория основывается на аксиоматическом методе. Так научную теорию формируют на базе некоторых исходных положений, называемых аксиомами, а все остальные положения теории являются логическим следствием аксиом. К основным методам математических исследований относятся математические доказательства – строгие логические рассуждения. При этом необходимо учитывать, что математическое мышление не ограничивается логическими рассуждениями. Верная постановки задачи, оценка выбора способа ее решения зависит от математической интуиции.
Также математикой изучаются математические модели объектов. При этом одна и та же математическая модель может описывать свойства никак не связанных явлений. Для математика огромное значение имеет не природа анализируемых объектов, а существующие между ними отношения.
В математике применяются два вида умозаключений: дедукция и индукция. 
Индукция, представляет собой метод исследования, при котором общий вывод основывается на основе частных посылок.
Дедукция – способ рассуждения, за счет которого от общих посылок следует заключение частного характера.
Математика имеет огромное значение для естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследований. Данное обстоятельство обосновано тем, что математика она создает довольно простые мотели всех окружающих нас процессов.