Реферат на тему Ограниченные и неограниченные функции

Содержание:

Введение. 3

1
Математические функции. 4

1.1 Ограниченные
и неограниченные функции. 4

Заключение. 6

Список
использованной литературы.. 7

Введение:

Функция (отображение,
оператор, преобразование) – это математическое понятие, которое отражает связь
между элементами множества. Функция – это правило, по которому каждому элементу
множества (называемого областью определения) присваивается элемент другого множества
(называемого областью значений). Значение переменной Функция в математике,
понятие, определения, примеры, необычные функции однозначно определяет значение
выражения Функция в математике, понятие, определения, примеры, необычные
функции, а значение одного месяца однозначно определяет значение следующего
месяца. Аналогично, алгоритм, разработанный заранее, производит определенные
выходные данные при изменении входных данных. Термин "функция" часто
относится к числовой функции, т.е. функции, которая отображает числа на другие
числа. Впервые использован Лейбницем (1692). Первоначально понятие функции было
неотличимо от понятия аналитического представления. Определение функции, данное
Эйлером (1751), затем Лакруа (1806), появилось впоследствии в почти современном
виде. Общее определение функции (в современном виде, но для числовых функций)
было окончательно дано Лобачевским (1834) и Дирихле (1837). К концу
девятнадцатого века понятие функции вышло за рамки систем счисления. Первыми
были векторные функции, вскоре Фреге ввел логические функции (1879), а после
появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное
универсальное определение [1].

Объект исследования:
математические функции.

Предмет исследования: определение
ограниченных и неограниченных функций.

Цель работы: изучить
понятие ограниченных и неограниченных функций

Заключение:

В элементарной математике
функции рассматриваются только на множестве вещественных чисел S. Это означает, что аргумент функции
может принимать только вещественные значения, при которых функция определена,
т.е. она также принимает только вещественные значения. Множество х всех
допустимых действительных значений аргумента x, при которых определена функция
y=f(x), называется диапазоном функции. Множество y всех допустимых значений y, которые
принимает функция, называется областью функции. Теперь мы можем дать более
точное определение функции: Правило (закон) соответствия между множествами х и
у, согласно которому для каждого элемента из множества х можно найти один и только
один элемент из множества н, называется функцией.

Из этого определения
следует, что функция считается заданной, если:

 — дана область определения функции х;

 — задан диапазон значений функции у;

— известно правило
(закон) соответствия, такое, что для каждого значения аргумента можно найти
только одно значение функции.

Это требование
уникальности функции является обязательным.

Функция называется «ограниченной»,
если существует положительное число А такое, что |f(x)|А для всех значений x .
Если такого числа не существует, то функция является «не ограниченной».

Фрагмент текста работы:

1
Математические функции

1.1
Ограниченные и неограниченные функции Обозначим
буквой X
некоторое множество чисел, входящих в область
определения D(f) функции y=f(x).

Определение 1.Функцию y=f (x) называют ограниченной сверху на множестве X,
если существует такое число a, что для любого
x из
множества X
выполнено неравенство Определение 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X,
если существует такое число b, что для любого
x из
множества  X выполнено неравенство Определение 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X,
если существуют такие числа a и b, что для любого
x из
множества X
выполнено неравенство Определение 4. Функцию
y = f (x)
называют неограниченной сверху на множестве X,
если для любого
числа a
существует такой
x из множества X,
для которого выполнено неравенство Определение 5. Функцию
y = f (x)
называют неограниченной снизу на множестве X,
если для любого
числа b
существует такой
x из множества X,
для которого выполнено неравенство Определение 6.Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X,
если эта функция или не ограничена сверху, или не ограничена снизу, или не ограничена
и сверху, и снизу [2].

Проиллюстрируем
эти определения
следующими примерами.

Пример
1.Функция y=x2 (рис. 1) является ограниченной
снизу и неограниченной сверху на множестве