Реферат на тему Моделирование марковских случайных процессов

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 4
Раздел I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ 7
РАЗДЕЛ 2. ОПИСАНИЕ ПРИМЕНЯЕМЫХ МЕТОДОВ, ИНСТРУМЕНТОВ, МЕТОДИК, ПРОЦЕДУР В РАМКАХ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 10
Раздел 3. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ РОССИЙСКОГО И ЗАРУБЕЖНОГО ОПЫТА 13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 15
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 18

Введение:

Рассуждая о месте задачи моделирования марковских случайных процессов, необходимо отметить, что многие операции, которые приходится анализировать под углом зрения выбора оптимального решения, развиваются как случайные процессы. Ход и исход процессов, которые зависят от ряда случайных факторов, сопровождающих эти операции,
Для того, чтобы вычислить числовые параметры, характеризующие такие операции и позволяющие проводить оценку их эффективности, прибегают к построению вероятностных моделей изучаемого явления, учитывающую сопровождающие его случайные факторы.
Для математического описания многих операций, развивающихся в форме случайного процесса, с успехом применяется математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов.
Согласно определению случайного процесса, это характерно для состояния системы S, которое меняется во времени случайным, заранее непредсказуемы образом. Примерами случайных процессов могут быть процессы функционированию компьютерных систем, наведения на цель управляемой ракеты или космического летательного аппарата, обслуживания клиентов парикмахерской или ремонтной мастерской, выполнения плана снабжения группы предприятий и т. д.
Понятие марковского случайного процесса применяется для моделирования состояния физических или биологических систем S, состояние которых изменяется с течением времени.
При этом под системой S может пониматься любое техническое устройство, технологический процесс, компьютерные системы, транспортные узлы, биологические популяции и др.).
Конкретное протекание каждого из таких процессов также зависит с ряда случайных (заранее непредсказуемых факторов), к которым относятся:
− периодичность поступления информации о состоянии системы,
− надежность средств обработки сигналов,
− случайные возмущения (помехи) в системе управления процессами в системе,
− случайный характер потока заявок (требований), поступающих со стороны партнеров и клиентов,
− случайные перебои в выполнении плана снабжения и выполнения производственных процессов,
− непредсказуемые факторы биологического происхождения и др.
Актуальность темы исследования. В современных условиях, когда информационно-аналитическое пространство общества интенсивно расширяется, человек живет на пересечении десятков, если не сотен информационных потоков, подвергается воздействию множества техногенных и биологических факторов.
Наблюдается динамичный рост различных каналов коммуникаций, и соответственно факторов воздействия на эффективность мышления и практической деятельности человека.
Развитие глобальных рыночных отношений усиливает внимание к многообразным локальным процессам в прикладном контексте, и в то же время повышает потребность в разработке надежных систем планирования, управления системами разных масштабов, а также мониторинга процессов.
Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена особой ролью методов моделирования марковских случайных процессов при создании и функционировании операционного пространства.
Объект: Моделирование случайных процессов.
Предмет исследования: Моделирование марковских случайных процессов.
Цель: Показать роль и особенности моделирования марковских случайных процессов.
Задачи исследования:
— обозначить основные этапы и направления в становлении методов моделирования марковских случайных процессов;
— раскрыть особенности применяемых методов, инструментов, методик, процедур в рамках темы исследования;
— провести анализ примеров российского и зарубежного опыта.
Методы исследования: Библиография, анализ и синтез выявленного материала.
Структура реферата включает введение, 3 раздела, выводы и список использованных источников.

Заключение:

Для вычисления числовых параметров, характеризующих стохастические объекты, нужно построить некоторую вероятностную модель явления, учитывающую сопровождающие его случайные факторы. Для математического описания многих явлений, развивающихся в форме случайного процесса, может быть с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов.
В качестве примеров можно привести процесс функционирования ЭВМ (поступление заказов на ЭВМ, вид этих заказов, случайные выходы из строя), процесс наведения на цель управляемой ракеты (случайные возмущения (помехи) в системе управления ракетой), процесс обслуживания клиентов в парикмахерской или ремонтной мастерской (случайный характер потока заявок (требований), поступивших со стороны клиентов).
Наиболее полное исследование процесса функционирования систем получается, если известны явные математические зависимости, связывающие искомые показатели с начальными условиями, параметрами и переменными исследуемой системы. Для многих современных систем, являющихся объектами моделирования, такие математические зависимости отсутствуют или малопригодны, и следует применять другое моделирование, как правило, имитационное.
Однако есть ряд конкретных математических схем, проверенных практикой и доказавших эффективность моделированием. Целью изучения настоящей темы является освоение таких математических моделей.
В инженерной практике часто возникает задача моделирования процессов случайной смены состояний в исследуемом объекте. В рамках нашей профессии нас интересуют дискретные состояния. Например, техническое состояние объекта может характеризоваться дискретными состояниями: исправен — неисправен, загружен — находится в простое и т. п. Численности боевых средств противоборствующих сторон изменяются дискретно, очереди объектов, ожидающих обслуживания, и многое другое.
Вид очередного состояния может определяться случайным образом, смена состояний может происходить в случайные или не случайные моменты времени.
Большой класс случайных процессов составляют процессы без последействия, которые в математике называют марковскими процессами в честь Андрея Андреевича Маркова — старшего (1856-1922), выдающегося русского математика, разработавшего основы теории таких процессов.
Сущность процесса без последействия понятна из определения.
Случайный процесс называется марковским, если вероятность перехода системы в новое состояние зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние.
Практически любой случайный процесс является марковским или может быть сведен к марковскому. В последнем случае достаточно в понятие состояния включить всю предысторию смен состояний системы.
А. А. Марков имеет дополнение к фамилии «старший» потому, что его сын — тоже Андрей Андреевич Марков — выдающийся математик, специалист в области теории алгоритмов и др.
А. А. Марков — старший известен также как давший вероятностное обоснование метода наименьших квадратов, приведший одно из доказательств предельной теоремы теории вероятностей и многое другое.
Дальнейшее развитие теория марковских процессов получила в работах выдающегося отечественного математика Андрея Николаевича Колмогорова.
Марковские процессы делятся на два класса:
− дискретные марковские процессы (марковские цепи);
− непрерывные марковские процессы.
Случайный процесс называется марковским процессом (или «процессом без последствия»), если для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t> t0) зависит только от её состояния в настоящем (при t= t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом). Пусть S техническое устройство, которое характеризуется некоторой степенью изношенности S. Нас интересует, как оно будет работать дальше. В первом приближении характеристики работы системы в будущем (частота отказов, потребность в ремонте) зависят от состояния устройства в настоящий момент и не зависят от того, когда и как устройство достигло своего настоящего состояния.
Теория марковских случайных процессов – обширный раздел теории вероятности с широким спектром приложений (физические явления типа диффузии или перемешивания шихта во время плавки в доменной печи, процессы образования очередей).
Марковские случайные процессы делятся на классы. Первый классификационный признак – характер спектра состояний. Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы S1, S2, S3…можно перечислить, а сам процесс состоит в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) перескакивает из одного состояния в другое.
Существуют процессы с непрерывными состояниями (плавный переход из состояния в состояние), например, изменение напряжения в осветительной сети.
Второй классификационный признак – характер функционирования во времени. Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени: t1, t2… . Если переход системы из состояния в состояние возможен в любой наперед неизвестный случайный момент, то говорят о случайном процессе с непрерывным временем.

Фрагмент текста работы:

РАЗДЕЛ I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Любой технологический процесс может носить случайный характер. Это обусловлено тем, что под воздействием внешних факторов сырьё в течение времени переходит из одного состояния в другое и в итоге превращается в готовую продукцию. Технологический процесс изготовления продукции (детали) из заготовки, происходит в результате выполнения отдельных технологических операций. Подобный процесс изготовления продукции на отдельных операциях может заканчиваться, может повторяться, но никогда не возвращается на предыдущую операцию. Поэтому можно утверждать, что такой процесс является Марковским .
Цепь Маркова является вероятностной моделью, описывающей последовательность возможных событий, в которых вероятность каждого события зависит только от состояния, достигнутого в предыдущем случае .
В теории вероятностей и смежных областях марковский процесс , названный в честь основополагающих работ 1930-х гг. русского математика Андрея Маркова, является случайным процессом, который удовлетворяет марковскому свойству (иногда его характеризуют как «отсутствие памяти »).
Марков изучал стохастические процессы в начале 20-го века, опубликовав свою первую статью на эту тему в 1906 году .
Случайные блуждания, основанные на целых числах, и проблема разорения игрока – классические примеры марковских процессов . Некоторые вариации этих процессов были изучены сотни лет назад в контексте независимых переменных .
Два важных примера применения процессов Маркова демонстрируют процесс Винера , также известный как процесс броуновского движения, и процесс Пуассона, которые считаются наиболее важными и центральными случайными процессами в теории случайных процессов , и были открыты неоднократно и независимо, как до, так и после 1906 года, в различных условиях .
Эти два процесса являются марковскими процессами в непрерывном времени, в то время как случайные блуждания по целым числам и проблема разорения игрока являются примерами марковских процессов в дискретном времени .
Однозначно считается, что процесс удовлетворяет свойству Маркова, если возможно делать прогнозы на будущее процесса, основанные исключительно на его нынешнем состоянии точно так же, как если бы можно было знать всю историю процесса, т.е. независимо от такой истории, условно говоря – когда настоящее состояние системы, ее будущее и прошлое состояния независимы .
При изложении нахождения распределения вероятностей в произвольный момент времени в случае марковского процесса параллельной эксплуатации выгоднее использовать предложенный метод, состоящий в получении предположительного решения в частном случае постоянной интенсивности и последующей проверке формул, обобщающих решение на случай произвольной непрерывной плотности .
Таким образом, модели, разработанные на основе Марковских процессов достаточно просты и единообразны при их использовании для анализа и проектирования технологических процессов, однако основным недостатком таких моделей является отсутствие возможности моделирования процессов с длинной памятью.