Реферат на тему Методы упрощения и решения матричных антагонистических игр

Содержание:

Введение………………………………………………………………………………… 3

Предмет теории игр……………………………………………………………….. 4

Основные понятия………………………………………………………………. 4

Платежная матрица…………………………………………………………….. 7

Упрощение игр…………………………………………………………………….. 13

Решение игр…………………………………………………………………………. 16

Игра 2 х 2…………………………………………………………………………. 16

Игры 2 x n и m x 2…………………………………………………………….. 18

Решение игр m x n…………………………………………………………….. 19

Заключение………………………………………………………………………….. 23

Список использованных источников………………………………………. 24

Введение:

Во многих задачах исследования операций (ИсО) нам приходится
сталкиваться с проблемой принятия решений в условиях неопределенности.
Неопределенными могут быть как условия выполнения операции, так и сознательные
действия «противника» или других лиц, от которых зависит успех операции. Кроме
того, неопределенность может относиться и к целям операции, т.к. не всегда
удается охарактеризовать успех выполнения операции одной единственной функцией
цели.

Разработаны специальные
математические методы, предназначенные для обоснования решений в условиях
неопределенности. В некоторых, наиболее простых случаях эти методы дают
возможность фактически найти и выбрать оптимальное решение. В более сложных
ситуациях эти методы доставляют вспомогательный материал, позволяющий глубже
разобраться в сложной ситуации и оценить каждое из возможных решений с
различных точек зрения, взвесить его преимущества и недостатки и в конечном
счете принять решение, если не единственное правильное, то, по крайней мере, до
конца продуманное.

Необходимо учитывать, что при
выборе решения в условия неопределенности всегда неизбежен элемент произвола и,
значит, риска. Недостаточность информации всегда опасна, и за нее приходится
платить.

В ряде случаев задача о принятии
решения в условиях неопределенности ставится в таком виде: какой ценой можно заплатить
за недостающую информацию, чтобы экономический эффект всей операции был
максимальным?

Задачами о принятии решений в
условиях неопределенности занимается теория игр и статистических решений.

Заключение:

Теория игр — это раздел математики, изучающий решение
конфликтов между игроками и оптимальность их стратегий. Конфликт может
относиться к разным областям человеческого интереса: чаще всего это экономика,
социология, политология, реже биология, кибернетика и даже военное дело.
Конфликтом является любая ситуация, в которой затронуты интересы двух и более
участников, традиционно называемых игроками. Для каждого игрока существует
определенный набор стратегий, которые он может применить. Пересекаясь,
стратегии нескольких игроков создают определенную ситуацию, в которой каждый
игрок получает определенный результат, называемый выигрышем, положительным или
отрицательным. При выборе стратегии важно учитывать не только получение
максимального профита для себя, но так же возможные шаги противника, и их
влияние на ситуацию в целом.

Фрагмент текста работы:

Предмет теории игр

Основные понятия

При решении практических задач
ИсО, например, в области экономики и т.д., приходится анализировать ситуации, в
которых сталкиваются две (или более) «враждующих» стороны, преследующие
различные цели, причем результат любого мероприятия каждой из сторон, зависит
от того, какой образ действий выберет «противник». Такие ситуации называются конфликтными.
Теория игр и есть математической теорией конфликтных ситуаций. Задача
этой теории – выработка рекомендаций по рациональному образу действий
участников конфликта.

Чтобы сделать возможным
математический анализ ситуации, надо отвлечься от второстепенных факторов и
построить упрощенную, схематизированную модель ситуации. Такая модель
называется игрой.

От реальной конфликтной ситуации
игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. Все
известные игры являются не чем иным, как формализациями некоторых конфликтных
ситуаций (шахматы, домино, карточные игры и т.д.). Все эти игры носят характер
соревнования, происходящего по известным правилам, и заканчивающегося «победой»
того или иного игрока.

Игру, в которой сталкиваются
интересы двух игроков, называют парной, если более двух – множественной.
Будем рассматривать только парные игры, т.к. они имеют наибольшее
практическое значение.

Пусть имеется парная игра И, в
которой участвуют два игрока А и В с противоположными интересами. Под «игрой»
будем понимать мероприятие, состоящее из ряда действий или ходов сторон
А и В. Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, должны быть
четко сформулированы правила игры, т.е. система условий, регламентирующая:

· возможные варианты действий игроков;

· объемы информации каждой стороны о поведении
другой;

· результат игры, к которому приводит каждая
данная совокупность ходов. Этот результат, вообще-то, не всегда имеет
количественное выражение, но, обычно, можно, хотя бы условно, выразить его
числом (например, в футболе: 3 – победа, 1 – ничья, 0 – поражение).

Игра называется игрой с
нулевой суммой, если один игрок выигрывает ровно столько, сколько
проигрывает другой, т.е. сумма выигрышей сторон равна нулю. В игре с нулевой
суммой интересы противников прямо противоположны.

Развитие игры во времени
представляется рядом последовательных этапов или ходов. Ходом в теории
игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его
осуществление.

Ходы бывают личными и
случайными. Личным ходом называется сознательный выбор игроком
одного из возможных действий и его осуществление. Случайным ходом
называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а
каким-то механизмом случайного выбора (например, бросание монеты). Для каждого
случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных
исходов.

Некоторые игры состоят только из
случайных ходов (так называемые чисто азартные игры) или только из личных ходов
( шахматы). Большинство карточных игр содержит как личные, так и случайные
ходы.

Теория игр занимается анализом
только тех игр, которые содержат личные ходы. Ее задача – дать указания игрокам
при выборе их личных ходов, т.е. рекомендовать им определенные стратегии.

Стратегией игрока
называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом
личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе
игры.

Понятие стратегии – одно из
основных понятий в теории игр. Обычно игрок не следует каким-то жестким,
фиксированным правилам при выборе решения – каждый личный ход принимается им в
зависимости от сложившейся ситуации. Однако теоретически дело не изменится,
если мы представим себе, что все эти решения приняты игроком заранее («если
сложится такая-то ситуация, я поступлю так-то»). В принципе это возможно для
любой игры. Если такая система решений будет принята, это будет означать, что
игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре
лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять
незаинтересованное лицо (судья).

В зависимости от числа возможных
стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.

Игра называется конечной, если
у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и бесконечной, если
хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий. Целью теории
игр является определение оптимальной стратегии для каждого из них.

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при
многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный
средний выигрыш. При выборе этой стратегии основой рассуждений является
предположение, что «противник», по меньшей мере, так же разумен, как и мы сами,
и делает все для того, чтобы