Реферат на тему Матрицы высших порядков

Содержание:

1. Введение. Основные сведения о матрицах 3

2. Понятие матрицы 5

3. Действия над матрицами 6

4. Определители 8

5. Определители высших порядков 9

6. Заключение 17

7. Список использованных источников 18

Введение:

В математической терминологии применяется весьма неоднозначный термин «матрица». К примеру, в математике это система элементов, имеющая вид прямоугольной таблицы, в программировании – двумерный массив, в электронике – набор проводников. Композиционный материал или композит и включенные в нее армирующие элементы обладают структурой в виде матрицы (исключение составляют слоистые композиты). В фотографии – это интегральная микросхема (аналоговая или цифро-аналоговая), состоящая из фотодиодов. В светочувствительной матрице происходит преобразование спроецированных на нее оптических изображений в электрический сигнал аналогового типа, или преобразование происходит в поток цифровых данных. Поэтому матрица – основной элемент цифровых фотоаппаратов, всех современных видео- и телекамер, фотокамер, встроенных в мобильный телефон и системы видеонаблюдения.

Матрицы применяются в повседнейвной жизни и используются во всех отраслях деятельности. При решении различных практических задач в математике, биологии, физике, технике, химии, экономике, маркетинге, психологии и других областях науки используют матрицы. Матрицы внедрились в программные обеспечения, что является актуальным в современном мире.

Цель работы: Изучить матрицы, действия над ними, определители высших порядков, исследование их свойств.

Для достижения цели можно выделить ряд задач исследования:

изучение понятий:

— матриц;

— определителей;

— определителей высших порядков;

В математике матрица это прямоугольная таблица, состоящая из каких-либо элементов. Элементами матрицы могут быть различные данные о предметах, объектах, событиях, явлениях и т.д.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Заключение:

4. Исторически сложилось так, что первой была распознана не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем. Лишь постепенно возникло представление о матрице как об алгебраической сущности. Термин «матрица» ввел английский математик XIX века Джеймс Сильвестр, но это был его друг математик Артур Кэли, разработавший алгебраический аспект матриц в двух статьях в 1850-х годах. Кейли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны. Они важны еще и потому, что, как признал Кейли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых справедливы многие из обычных законов арифметики (например, ассоциативный и распределительный законы).

Фрагмент текста работы:

2. Понятие матрицы

Матрицей называют совокупность n×m чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей n строк и m столбцов.

Общее обозначение

Числа aik (i = 1, 2, …, n; k = 1, 2, …, m), из которых состоит матрица, называются ее элементами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца.

Если в матрице n строк и m столбцов, то это обозначает, что размерность матрицы имеет n, m.

Матрица, все элементы которой равны нулю, является нулевой.

Матрицы равны, если их соответствующие элементы, из которых они состоят, имеют одинаковую размерность.

Матрица, у которой одна строка — матрица (вектор) – строка, а если с одним столбцом –матрицей (вектором) – столбцом. Например:

матрица–строка:

матрица–столбец:

Если n=m, то матрица называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой n строк и n столбцов, называется матрицей n–го порядка.

Перемена местами строк и столбцов матрицы с сохранением их номеров называется транспонированием матрицы A. Полученная таким образом матрица называется транспонированной и обозначается A*.

Поэтому матрица, совпадающая со своей транспонированной, называется симметрической.