Реферат на тему Математическая логика

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Характеристика математической логики 4

2. Операции математической логики 6

3.Алгебра высказываний 10

4. Исчисление высказываний 15

5. Исчисление предикатов 19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23

Введение:

Актуальность. Логика изучает умозаключения, а математическая логика изучает те типы умозаключений, которыми пользуются математики. Отличительной чертой математики, в противоположность другим наукам, является использование доказательств, а не наблюдений. Физик может выводить физические законы из других законов, но как окончательное подтверждение физического закона он обычно рассматривает согласованность его с экспериментом. Математик тоже может использовать наблюдение: например, проверить на многих прямоугольных треугольниках, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Однако он признает этот факт как математический закон только тогда, когда это будет доказано. Естественно, невозможно доказать все законы, т. к. необходимы начальные предположения, на основании которых мы будем доказывать все остальные математические законы. Цель работы изучить теоретические аспекты математической логики.

Задачи работы:

— охарактеризовать математической логики;

— изучить операции математической логики;

— изучить алгебру высказываний;

— изучить исчисление высказываний;

— изучить исчисление предикатов.

Объект исследования математические теории.

Предмет исследования логические законы.

Методы исследования анализ и синтез.

Практическая значимость исследования связана с тем, что сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом растет глубокое проникновение идей и методов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику, философию.

Гипотеза. Средства математической логики стали эффективным инструментом для специалистов многих отраслей науки и техники.

Заключение:

Математическая логика немало способствовала бурному развитию информационных технологий в XX веке, но из ее поля зрения выпало понятие «суждение», которое появилось в логике еще во времена Аристотеля и на котором, как на фундаменте, держится логическая основа естественного языка. Такое упущение отнюдь не способствовало развитию логической культуры общества и у многих даже породило иллюзию, что компьютеры способны мыслить не хуже самого человека. Многих даже не смущает то обстоятельство, что на фоне всеобщей компьютеризации в преддверии третьего тысячелетия логические нелепости в пределах самой науки (я уж не говорю о политике, законотворческой деятельности и о псевдонауке) встречаются даже чаще, чем в конце XIX века. И для того, чтобы понять суть этих нелепостей, нет необходимости обращаться к сложным математическим структурам с многоместными отношениями и рекурсивными функциями, которые применяются в математической логике. Оказывается, для понимания и анализа этих нелепостей вполне достаточно применить намного более простую математическую структуру суждения, которая не только не противоречит математическим основам современной логики, но в чем-то дополняет и расширяет их.

Фрагмент текста работы:

1. ХАРАКТЕРИСТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Математическая логика — это подраздел математики, который занимается изучением формальных систем .

Термин логика обозначает науку, которая изучает правила и законы мышления, методы формирования доказательств и опровержения разных положений.

Основоположником логики считается древнегреческий философ Аристотель, который жил в четвёртом веке до нашей эры. Изначально он заметил, что при доказательстве каких-либо положений на основании других утверждений, за основу берут не их конкретное содержание, а только взаимные отношения их форм. Другой учёный времён Древней Греции, Евклид, выполнил систематизацию большого числа утверждений геометрии с точки зрения логики. Он ввёл в обиход понятие метода аксиом и заложил начало пониманию геометрии как науки, основанной на аксиомах, а понимание всей математической науки как набор математических теорий.

Логические постулаты Аристотеля подвергались доработкам в течение длительного временного периода. Существенный качественный скачок в прогрессе логической науки настал с приходом в логику математических методик. Начал их применять известный немецкий учёный Г. Лейбниц, живший в семнадцатом и восемнадцатом веках нашей эры. Он хотел сформировать универсальную языковую форму, которая позволила бы сделать формализацию разнообразных выкладок и все разногласия, и споры свести к математическим формулам.

Появление науки, названной математической логикой, связано с трудами английского учёного Джона Буля. Он создал алгебру логики, которая впоследствии получила название Булева алгебра. Она явилась итогом использования в логике методов алгебры. Заметным шагом в развитии математической логики явилось появление неевклидовой геометрии, прописанной в работах русского учёного Н.И. Лобачевского. В конце девятнадцатого века были выявлены парадоксы в теории множеств, которые выдвинули в число проблем математической логики проблему обоснования самой математики. Немецкий учёный Г. Фреге увидел разрешение этой проблемы в приведении математики к логике. Он использовал инструментарий математической логики, чтобы обосновать арифметику. Уже в двадцатом веке на основе математической логики была создана теория алгоритмов.

Элементы математической логики – это ключевые положения раздела математики, изучающего:

— формальные системы,

— математические обозначения,

— природу математических доказательств,

— доказуемость математических суждений,

— вычислимость,

— другие аспекты основ математики.

Математическая логика в широком смысле представляет собой математизированную ветвь формальной логики – «логику по предмету, математику по методу».

По сути, современная математическая логика не отличается от логики Аристотеля, просто вместо громоздких словесных выводов в ней используют математическую символику. Математическая логика занимается вопросами применения методов математики для решения логических задач, а также построения логических схем, лежащих в основе работы вычислительной техники.

Одна из характерных особенностей математической логики — использование математического языка символов и формул.

В математическом языке, так же как в обычном, мы пользуемся именами предметов, т. е. условными языковыми выражениями, которыми обозначаются эти предметы, различая при этом имя предмета и сам предмет, обозначаемый этим именем.

Так, мы отличаем число пять как общее свойство («инвариант») класса множеств, эквивалентных, например, множеству пальцев человеческой руки, от слова «пять», которым это число обозначается на русском языке, от английского «five», от знаков «5», «101», «V» и т.п., которыми оно обозначается в различных системах нумерации.