Реферат на тему Линейный базис. Размерность линейного пространства. Размерность прямой, размерность гиперплоскости

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ. 3

РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО
ПРОСТРАНСТВА. РАЗМЕРНОСТЬ ПРЯМОЙ, РАЗМЕРНОСТЬ ГИПЕРПЛОСКОСТИ.. 4

ВЫВОДЫ.. 12

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ.. 13

Введение:

На
сегодняшний день моя тема актуальна, потому что мы часто встречаемся в
векторной алгебре с линейными пространствами. Знать, что они из себя
представляют и их свойства, я думаю, должен каждый.

Объектом
моего реферата является линейное пространство.

Предметом
— изучение линейных пространств и их свойства.

Задачи
моей работы состоят:

1.
Изучить линейное пространство

2.
Рассмотреть аксиомы векторного пространства

3.
Проанализировать векторное подпространство

4.
Ознакомится с базисом линейного пространства

В
моем реферате мы ознакомимся с формулами линейного пространства, с его
основными свойствами. Также рассмотрим другие важные вопросы и докажем
некоторые важные теоремы.

Заключение:

Линейная алгебра — важная часть алгебры в приложениях,
изучающая векторы, векторные или линейные пространства, линейные отображения и
системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются повсюду в
математике и ее приложениях. Линейная алгебра широко используется в абстрактной
алгебре и функциональном анализе и имеет множество применений в естественных
науках.

Линейная алгебра занимается линейными пространствами
конечной размерности. Очень частое использование последнего выражения
заставляет нас ввести еще одну аббревиатуру.

Линейные пространства конечной размерности также важны и
широко используются, например, в современной физике. Однако одной алгебры для
их изучения недостаточно.

Фрагмент текста работы:

РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.
РАЗМЕРНОСТЬ ПРЯМОЙ, РАЗМЕРНОСТЬ ГИПЕРПЛОСКОСТИ

Множество
векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения
векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным ниже восьми
свойствами, называется векторным пространством. (2)

Следует
отметить, что под x, y, z можно рассматривать не
только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае
соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным
пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов
степени, не превышающей натурального числа n. Легко убедиться, что
если x и y — многочлены степени не выше n, то
они будут обладать свойствами 1-8. Заметим для сравнения, что, например,
множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу n, не
является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения
элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени n. А
множество многочленов степени не выше n, но с положительными
коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом
множестве не определена операция умножения элементов на число: также многочлены
нельзя умножать на отрицательные числа. [1]

Из
определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1-8,
вытекает существование единого нулевого вектора, равного произведению
произвольного вектора х на действительное число 0 и
существование для каждого вектора х единственного
противоположного вектора (-х), равного произведению этого вектора на
действительное число (-1).

Линейное
пространство (векторное) V(P) над полем P — это непустое множество V, на
котором введены операции:

1.
сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие
элемент того же множества, обозначаемый x+y V и

2.
умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому
элементу ставится в соответствии элемент из V(P), обозначаемый .

При
этом удовлетворяются следующие условия:

1.
, для любых (коммутативность сложения);

2.
для любых (ассоциативность сложения);

3.
существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента
относительно сложения), в частности V не пусто;

4.
для любого существует такой элемент , что (существование противоположного
элемента).

5.
(ассоциативность умножения на скаляр);

6.
1 (существование нейтрального элемента относительно умножения).

7.
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8.
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы
множества V называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4
совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие
свойства.

1.
Векторное пространство является абелевой группой.

2.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3.
для любого .