Реферат на тему Критерий устойчивости «Михайлов», историческая справка

Содержание:

Введение 3
1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову 4
1.1. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 7
1.2. Частотные критерии устойчивости 9
2. Критерий устойчивости Михайлова 12
2.1. Критерий устойчивости Найквиста 15
2.2. Качество систем автоматического управления 16
Заключение 18
Список использованной литературы 19

Введение:

Обязательным условием целостности системы автоматического управления (АСУ) является ее стабильность. Под устойчивостью принято понимать свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была получена под воздействием мешающих факторов после прекращения ее влияния. Если система не может вернуться в состояние равновесия, которое было нарушено во время работы, она не подходит для практического использования.
На практике критерии устойчивости используются для определения устойчивости самоходного оружия, то есть правил, которые можно использовать для определения устойчивости системы без обращения к решению дифференциальных уравнений. Одним из таких критериев является критерий устойчивости Михайлова.
Критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать так: замкнутая самоходная пушка устойчива, если комплексная частотная функция, начиная с реальной положительной оси, наклоняется против часовой стрелки вокруг источника при изменении частоты от 0, минуя n квадрантов, где n порядок характеристического уравнения системы.
Цель работы: Критерий устойчивости «Михайлов», историческая справка.
Задачи: 1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову;
2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами;
3. Частотные критерии устойчивости;
4. Критерий устойчивости Михайлова;
5. Критерий устойчивости Найквиста;
6. Качество систем автоматического управления.

Заключение:

Критерии стабильности частоты получили самое широкое практическое применение, поскольку, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы с помощью более простой передаточной функции, чем W-системы; во-вторых, анализ устойчивости также может быть выполнен на экспериментально определенных частотных характеристиках; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно также оценить качество переходных процессов в системе.
Высокий вакуум Михайлов первым применил частотные методы, разработанные радиотехникой Найквиста, для анализа устойчивости линейных систем управления. Критерий устойчивости, сформулированный им в 1938 году, был назван его именем.
Согласно критерию Михайлова система автоматического управления устойчива, если при увеличении частоты от 0 до oo вектор F (j (o) знаменателя передаточной функции W (j (o)) контура управления вращается на угол n / 2 (здесь n — это Степень характеристического уравнения)) или то же самое, если годограф Михайлова, начиная с положительной части вещественной оси, окружает n квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки) с увеличением частоты от 0 до s.
Устойчивость является необходимым, но не единственным требованием к системам управления. Стабильность гарантирует сходимость переходного процесса к заданному значению контролируемой переменной и как быстро это происходит, насколько велики выбросы, насколько они точны, т.е. Каково качество переходного процесса? Эти вопросы остаются без ответа.
Однако качество переходного процесса часто создает очень строгие требования. Качество переходного процесса оценивается на основе реакции системы на типичные эффекты, такие как удар, линейно увеличивающийся эффект (т.е. эффект, который увеличивается с постоянной скоростью), парабола (то есть, эффект, который изменяется при постоянном ускорении).

Фрагмент текста работы:

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову
Решение системы, удовлетворяющее начальным условиям, называется устойчивым по Ляпунову, если существует такое, что для всякого решения, системы, начальные значения удовлетворяют условиям.
Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения, неравенства не выполняются, то решение называется неустойчивым.
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений:
x’ = f (t , x) (1)
с начальными условиями x (t0) = x0 (2)
где x = (x1, x2, … , xn) — n — мерный вектор; t О I = [t0, + Ґ — независимая переменная, по которой производится дифференцирование;
f (t, x) = (f1 (t , x) , f2 (t , x) , … , fn (t , x)) — n — мерная вектор — функция.
Комментарии к задаче Коши (1), (2).
Чтобы облегчить восприятие, эту проблему можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x ’= f (t, x) с начальным условием x (t0) = x0. Для простоты все цифры статьи 10, если нет особых оговорок, приведены для случая n = 1.
Поскольку проблема теории устойчивости впервые появилась в механике, принято интерпретировать переменную t как время, а искомую векторную функцию x (t) как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn + 1 [7].
Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда только одна целочисленная кривая проходит через каждую точку (t0, x0) в области единственности решений. Если исходные данные (t0, x0) изменяются, то решение также изменяется. Тот факт, что решение зависит от исходных данных, обозначается следующим образом: x (t) = x (t; t0, x0). Изменение этого решения в этой математической модели вместе с изменением исходных данных (t0, x0) приводит к значительному изменению решения x (t; t0, x0), что приводит к тому, что эту модель нельзя использовать, поскольку исходные данные (t0, х0) получены из опыта и изменения не могут быть абсолютно точными. Конечно, в качестве математической модели подходит только модель Коши, устойчивая к небольшим изменениям исходных данных.
Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклонение решения x (t) = x (t; t0, x0), вызванное отклонением x0 от начального значения x0, будет записано следующим образом:
x (t ; t0, x0 + x0) — x (t) | = | x (t ; t0, x0 + x0) — x (t ; t0, x0) |.
Определение 1. Решение x (t) = x (t; t0, x0) системы (1) называется устойчивостью по Ляпунову в положительном (или устойчивом) направлении, если оно непрерывно по x0 на интервале I = [t0], т. е. > 0> 0 такое, что x0
x0 | | x ( t ; t0, x0 + x0) — x ( t ) | t t0.
Если, кроме того, отклонение решения x (t) стремится к нулю при t + для достаточно малых x0, т.е. > 0 x0.
x0 | | x ( t ; t0, x0 + x0) — x (t) | 0 , t +
то решение x (t) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).
Точно так же различные типы стабильности решения определены в отрицательном направлении [2].
Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение x (t) можно интерпретировать следующим образом: Все решения x (t; t0, x0 + x0), близкие к решению x (t) в начальный момент времени t0 (т.е. начинаются внутри трубок) и не выходят за пределы трубок для всех t t0
2) Асимптотическая устойчивость — это устойчивость с дополнительным условием (3): каждое решение x1 (t), начинающееся в трубе в момент времени t0, приближается к решению x (t) бесконечно с течением времени. Трубка с радиусом называется областью притяжения для решения x (t). Решение x2 (t), которое начинается при t = t0 вне диапазона притяжения, но в пределах трубки, не покидает трубки, хотя может и не приблизиться к решению x (t).
Определение 2. Решение x (t) = x (t; t0, x0) системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не устойчиво в положительном направлении.
Нестабильность в отрицательном направлении также определяется.
Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких к решению x (t) в начальный момент времени t0, найдется хотя бы один, который в определенный момент времени t1 (свой для каждого такого решения) Трубные пределы.
Мы приводим примеры из механики, которые иллюстрируют определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. п = 1.
Итак, нулевое решение x (t) 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном (или устойчивом) направлении, если> 0 = ()> 0 такое, что x0:
| х0 | | x (t; t0, x0) | t t0.
Если в дополнение
> 0 x0 | х0 | | x (t; t0, x0) | 0, т +,
тогда решение x (t) 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).
Нулевое решение x (t) 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном (или неустойчивом) направлении, если оно не является устойчивым в положительном направлении, то есть
> 0 t1> t0> 0 x0 0 | х0 | | x (t; t0, x0) | >.
Геометрическая интерпретация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x (t) 0 системы.