Реферат на тему Компьютерная поддержка решения алгебраических уравнений численными методами.

Содержание:

Введение 3
Теоретические предпосылки методов решения систем линейных уравнений 4
Разрешимость системы 4
Точные методы 5
Метод Крамера 5
Матричный метод 5
Метод Гаусса 6
Численные методы. Метод итераций 8
Использование компьютерных программ для решения систем линейных уравнений 11
Метод Крамера 11
Матричный метод 12
Метод Гаусса 14
Итерация Якоби 14
1.5 Итерация Гаусса-Зейделя 15
Заключение 17
Список использованных источников 18

Введение:

Задачи линейной алгебры встречаются практически во всех сферах математической обработки данных. В частности, системы линейных уравнений описывают большое количество управленческих задач, задач проектирования и т.д. Для их решения используется широкий спектр методов от разработанных еще в «докомпьютерную» эпоху до современных реализаций, использующих такие достоинства вычислительной техники, как быстродействие и большие объемы данных.
Целью настоящей работы является обзор некоторых методов решения систем линейных уравнений с точки зрения использования компьютера.
Актуальность работы заключается в широком распространении задач, сводящихся к системам линейных уравнений.
Объектом исследования являются системы линейных уравнений.
Предметом исследования являются методы решения систем линейных уравнений.
Средствами исследования являются теоретический обзор методов решения систем линейных уравнений и практическая реализация некоторых их них на ПК с целью сравнения их эффективности и целесообразности использования в тех или иных задачах.
Задачами исследования являются:
1. Обзор и классификация методов решения систем линейных уравнений;
2. Рассмотрение некоторых алгоритмов решения систем линейных уравнений, заложенных в исследуемых методах;
3. Построение компьютерной реализации алгоритмов, рассмотренных в работе;
4. Сравнение рассмотренных алгоритмов по эффективности работы;
5. Формирование выводов по работе.

Заключение:

Численные методы расчета широко применяются при решении различных задач анализа данных. Одними из наиболее часто встречаемых методов являются методы решения систем линейных уравнений.
В настоящей работе были рассмотрены и исследованы 5 методов численного решения систем линейных уравнений: 3 метода точного решения и 2 метода численного решения (итерационных методов).
В результате исследования можно сделать такие выводы:
Точные методы дают правильное решение, если таковое существует, за конечное количество шагов. Основным недостатком таких методов является сложная реализация некоторых из них и большое время (количество операций умножения/деления).\;
Итерационные методы более просты в реализации, требуют меньше вычислительных операций, однако для их сходимости необходимо выполнение жестких требований.

Фрагмент текста работы:

Теоретические предпосылки методов решения систем линейных уравнений
Для решения систем линейных уравнений используется, в основном, две группы методов: точные и численные. К точным методам относятся такие, как метод Крамера, Гаусса (Жордана-Гаусса), матричный метод, LU-преобразования и т.п. Методы данной группы позволяют получить точное решение системы, если таковое существует, за конечное число шагов.
Численные методы, к которым относятся, в частности, различные модификации метода итераций, позволяются получать решение с некоторой заранее заданной точностью.
Разрешимость системы
Разрешимость системы, т.е. теоретическая возможность получить решение, является первой задачей, стоящей перед исследователем. Если принять, что количество неизвестных в системе равно n, а количество уравнений – m, то возможны следующие варианты:
1). n>m. В этом случае, скорее всего, система имеет бесконечное число решений.
2). n<m. В этом случае, скорее всего, система не имеет решения , т.е. является несовместной.
3). n=m. Такой случай наиболее распространенный и здесь следует обратить внимание на определитель системы Δ.
• Если Δ ≠ 0 система имеет единственное решение;
• Если Δ = 0 и каждый из дополнительных определителей Δxi = 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных xi пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. При этом система имеет бесчисленное множество решений.
• Если Δ = 0 и хотя бы один дополнительный определитель Δxi ≠ 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных xi, пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.
Рассмотрим некоторые методы решения систем линейных уравнений.