Реферат на тему История создания и применение комплексных чисел

Содержание:

Введение 3
1. Сущность понятия комплексного числа 5
2. Первая в истории математики встреча с «невозможными» числами при решении квадратных уравнений 6
3. Вторая в истории математики встреча с софистическими числами при решении кубических уравнений 7
4. Дальнейшие встречи с новыми числами в Г. Декарта при исследовании решений уравнений алгебры второй степени 10
5. Применение комплексных чисел 11
Заключение 14
Список использованной литературы 16

Введение:

Актуальность исследования. Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-й степени, а позже, и уравнений 2-й степени.
Первые обозначения и формальные определения пытались ввести итальянские математики того времени (Ферро, Тарталья, Кардано, Бомбелли). Эйлером был предложен символ как формальное решение уравнения , а также выражение более общего вида для записи решения уравнения . Позднее выражение получило название «воображаемое», а затем «комплексное» число (общепринятые в математике обозначения ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D<0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.
Но, не смотря, на большие возможности нового числа, математики XVI в. и последующих поколений вплоть до начала XIX столетия относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «воображаемыми» (Декарт), «несуществующими», «выдуманными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «Изящным и чудесным убежищем божественного духа», а считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).
Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение.
Объект исследования: теория комплексной переменной.
Предметом исследования является история и применение комплексного числа.
Цель исследования – рассмотреть историю развития понятия комплексного числа и его применение.
Задачи исследования:
1. Проанализировать научную литературу по данной теме.
2. Раскрыть сущность и историю понятия «комплексное число».
3. Описать основные области применения комплексного числа.
4. На основе полученных результатов сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: теоретический анализ литературы;
— практические методы: анализ, синтез, систематизация.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения,
пяти пунктов, списка использованной литературы. Общий объем составляет
16 страниц.

Заключение:

На основе рассмотренного теоретического материала можно сделать такие выводы:
1. Комплексным числом называется число вида , где . Числа a и b называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами .
В случае, когда число считается совпадающим с действительным числом a; если , то обозначается просто и называется чисто мнимым комплексным числом.
2. Комплексные числа возникли как чисто формальный математический результат при решении уравнений высших степеней. Многие великие математики исследовали вопрос добычи квадратного корня из отрицательного числа, в частности, это: Сципионы дель Ферро (1465-1526 ), Николо Тарталья (1499-1557), Джироламо Кардано (1501-1576), Рафаэле Бомбелли (1550-1572) и др.
Впервые о комплексные числа вспомнил Кардано в 1545 году в своей работе «Великое искусство или о правилах алгебры», хотя и называл их «сугубо софистическими величинами». Подробнее они рассматривались в книге Бомбелли «Алгебра», который рассмотрел правила действий над комплексными числами.
Впервые символ i для обозначения мнимой единицы -1 употребил Леонард Эйлер (1707-1783) в 1777 году (i – первая буква латинского слова imaginarius, что означает «мнимый», «ненастоящий»). Более строгое обоснование теории новых чисел, названных мнимыми, дал немецкий математик Карл Гаусс (1777-1855). Гаусс первым термин «мнимые числа» заменил термином «комплексные числа» и записывал их в виде . Он также обосновал применение комплексных чисел в математике.
3. В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и вовсе неожиданные применения. Комплексные функции находят важные применения в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, поскольку с их помощью удобно описывать движение объема жидкости (или газа). Комплексные числа применяются в электродинамике, квантовой механике и других областях физики. В геометрии для построения правильных многоугольников и для отыскания площади многоугольников произвольного вида. Широкое применение нашли комплексные числа в картографии, электротехнике и во многих других областях науки.
4. Таким образом, поставленные задачи решены, цель достигнута.

Фрагмент текста работы:

1. Сущность понятия комплексного числа

Рассмотрим уравнение , это уравнение имеет решение во множественном числе комплексных чисел, его обозначим через . Тогда . Множество C – расширение множества действительных чисел R, поэтому . Для элементов множества C введем арифметические операции: , . Эти числа – составные множества C.
Определение 1. Комплексным числом называется число вида , где . Числа a и b называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами [1].
В случае, когда число считается совпадающим с действительным числом a; если , то обозначается просто и называется чисто мнимым комплексным числом [2].
Определим на множестве комплексных чисел понятия равенства и сопряженности.
Определение 2. Будем говорить, что комплексные числа , считают равными, , тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть [3].
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не имеет смысла. Эти числа по величине не сравнивают. Поэтому нельзя, например, сказать, какое из двух комплексных чисел более 10i или 3i. В случае, когда и говорят, что комплексное число сопряжено с комплексным числом и обозначается символом . Поэтому, .
Таким образом, комплексные числа – это расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается C. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица. Когда число считается совпадающим с действительным числом a; если , то обозначается просто и называется чисто мнимым комплексным числом.