Реферат на тему Использование и применение дифференциальных уравнений

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1
Историческая справка дифференциальных уравнений. 4

2 Основные
понятия дифференциальных уравнений. 6

2.1
Обыкновенные дифференциальные уравнения. 6

2.2
Интегрирование дифференциального уравнения. 7

3 Виды
дифференциальных уравнений. 7

3.1
Дифференциальные уравнения первого порядка. 7

3.2 Уравнения
высших порядков. 11

3.3 Системы
дифференциальных уравнений. 13

4 Примеры
дифференциальных уравнений. 13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 15

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ   17

Введение:

ВВЕДЕНИЕ

Процессы, происходящие в
настоящее время во всех сферах жизни общества, предъявляют новые требования к
профессиональным качествам специалистов. Современный этап развития общества
характеризуется качественным изменением деятельности медицинского персонала,
которое связано с широким применением математического моделирования, статистики
и других важных явлений, имеющих место в медицинской практике.

Дифференциальное
уравнение — это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая
функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция,
но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь
между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных
областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.
Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для
описания переходных процессов.

Тема данной реферативной
работы является актуальной, так как математические методы применимы у самому
широкому кругу вопросов, в том числе и в такой сложной области как медицина.
Исследование многих физических и технических задач сводится к решению таких
дифференциальных уравнений. С их помощью описывают волновые процессы и
колебания, поэтому практическое применение дифференциальных уравнений очень
разнообразно.

Целью данной работы
является проверка возможности использования дифференциальных уравнений для
решения типовых задач.

Достижение целей связано
с решением следующих задач:

Описание теоретических
основ дифференциальных уравнений.

Рассмотрение некоторых методов
решения дифференциальных уравнений.

Предмет исследования сосредоточен
на дифференциальных уравнениях.

Объект исследования —
освоение темы «дифференциальные уравнения».

Гипотеза исследования —
изучение темы дифференциального уравнения способствует повышению уровня
подготовке по математике.

Методы исследования
основаны на принципах функционального, сравнительного и сопоставительного
исследования математических явлений.

В теоретической части
рассматриваются основные понятия теории дифференциальных уравнений;
практическая часть – решение дифференциальных уравнений.

Заключение:

Изучением
дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая
физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом
«Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения
математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений
состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых
постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет
построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного
набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория
дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и
специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное
интегрирование.

Круг вопросов
математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов.
Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости,
электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат
много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач
математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем,
имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии
процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных
математических методов.

Круг вопросов,
относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе
рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с
частными производными.

Расположение материала
соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений
начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям
рассматриваемого типа.

Дифференциальные
уравнения необходимы для построения математических моделей большинства
физических законов. Кроме того, дифференциальные уравнения можно использовать
для расчета вероятности определенных событий и даже создания тактики на поле
боя.

Для решения дифференциальных уравнений основную роль играют теоремы
существования и единственности, которые гарантируют правомерность применения

Фрагмент текста работы:

1
Историческая справка дифференциальных
уравнений

Дифференциальные
уравнения — это раздел математики, изучающий теорию и методы решения уравнений,
которые содержат искомую функцию и ее производные различных порядков аргумента
(обыкновенный дифференциал) или нескольких аргументов (уравнения в частных
производных) [1, 46]. Дифференциальные уравнения широко используются на
практике, особенно для описания переходных процессов.

Теория дифференциальных
уравнений — это раздел математики, который занимается изучением
дифференциальных уравнений и связанных с ними проблем [1, 59]. Их результаты
используются во многих естественных науках, особенно в физике.

Проще говоря,
дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная величина
является некоторой функцией. Причем в само уравнение входит не только
неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальное уравнение
описывает связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи можно
найти в различных областях знаний: механике, физике, химии, биологии, экономике
и т. д.

Различают обыкновенные
дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных.
Интегрально-дифференциальные уравнения сложнее.

Первоначально
дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали
координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Дифференциальное
уравнение называется квадратурно-интегрируемым, если задача нахождения всех
решений ограничений сводится к вычислению конечного числа интегралов от
известных функций и простых алгебраических операций.

Дифференциальные
уравнения были изобретены Ньютоном (1642-1727) [4, 91]. Ньютон считал это свое
изобретение настолько важным, что зашифровал его в форме анаграммы, значение
которой в современных терминах можно свободно передать следующим образом:
«законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всех видов
функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона состоит в
том, что для решения любого уравнения необходимо подставить ряд в уравнение и
приравнять члены одной степени ). Особое значение здесь имела открытая им
биномиальная формула Ньютона (конечно, не только с целыми показателями, для
которых, например, Вьет (1540-1603) знал формулу, но и, что особенно важно, с
дробными и отрицательными числами). показатели). Ньютон разложил все основные
элементарные функции на «ряды Тейлора». Это вместе с