Реферат на тему Экологическая модель Вольтерра.

Содержание:

Оглавление
Введение. 2
1. Модель Лотки — Вольтерра. 3
2. Математическая модель «хищник – инфицированная жертва». 7
Заключение. 12
Список использованной литературы.. 13

Введение:

В настоящее время задачи экологии имеют
первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка
математических моделей экологических систем.

Одной из основных задач экологии па
современном этапе является изучение структуры и функционирования природных
систем, поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала
математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её
разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория
оптимального управления.

Одной из первых работ в области
математической экологии была работа А.Д. Лотки (1880 — 1949), который первый
описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник —
жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра
(1860 — 1940), В.А. Костицин (1883-1963) В настоящее время уравнения
описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки — Вольтерра.

Уравнения Лотки — Вольтерра описывают
динамику средних величин — численности популяции. В настоящее время на их
основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые
интегро-дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник —
жертва.

Одной из важных проблем математической
экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами.
Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого
состояния в другое, с целью её использования или восстановления.

После оригинальных моделей Вито Вольтерра
и Альфреда Джеймса Лотки в середине 1920-х годов для взаимодействия
хищник-жертва были изучены взаимные и конкурентные механизмы широко в последние
годы исследователями.

Заключение:

1.
Модель Лотки — Вольтерра Модель Лотки-Вольтерры описывает
взаимодействие двух видов, один из которых является хищником, а другой –
жертвой (например, экологическая система «караси – щуки» или «зайцы – рыси») и
имеет вид: где N1(t) – численность жертвы в момент
времени t, N2(t) – численность хищника в момент времени t, ɛ1 – коэффициент
прироста жертвы в отсутствии хищника, ɛ2 – коэффициент смертности хищника, (-ɛ 2
– коэффициент прироста хищника в отсутствии жертвы, ɤ1 – коэффициент
истребления хищником жертв (выражением ɤ1 N1 определяет количество жертв, истребляемых
одним хищником в единицу времени), ɤ2 – коэффициент переработки съеденной
биомассы жертвы в биомассу хищника. Все коэффициенты являются положительными
постоянными [2].

В основе системы (1) лежат следующие
гипотезы:

1. В
отсутствии хищников жертвы размножаются неограниченно (N’1(t) = ɛ1 N1).

2. Хищники
в отсутствии жертв вымирают (N’2(t) = — ɛ2 N2).

3. Слагаемые,
пропорциональные члену N1N2, рассматриваются как превращение энергии (биомассы)
одного источника в энергию (биомассу) другого эффект влияния популяции хищников
на популяцию жертв заключается в уменьшении относительной скорости прироста
численности жертв (ɛ1) на величину, пропорциональную численности хищников).

Фазовым пространством системы (1) является
множество

R2+
=(N1, N2):N1≥0, N2≥0

Решив
систему

(ɛ1-ɤ1N2)N1=0

(-ɛ2+ɤ2N1)N2=0 найдем два положения равновесия системы
(1) P0(0,0)
и P1(ɛ2/ɤ2,ɛ1/ɤ1), которые
существуют при любых допустимых значениях параметров.

В окрестности произвольного положения
равновесия P* (N1*; N2*) для (1) соответствующая линеаризованная система имеет
вид: dx\dt
= (ɛ1-ɤ1N2*)x-ɤ1N1*y

dy\dt
= ɤ2N2*x+(-ɛ2+ɤ2N*) В окрестности точки P0 имеем: dx\dt
= ɛ1x

dy\dt
= -ɛ2y Так как собственные значения матрицы
системы вещественны и разного знака: λ1=
ɛ1>0, λ2
= -ɛ2<0 то положением равновесия P0 неустойчиво и
является седлом.

В
окрестности точки P1 линеаризованная система (2) принимает вид [4]:

dx\dt
= —

dy\dt
= Так как собственные значения матрицы
системы являются комплексными с нулевой вещественной частью:

Фрагмент текста работы:

1.
Модель Лотки — Вольтерра Модель Лотки-Вольтерры описывает
взаимодействие двух видов, один из которых является хищником, а другой –
жертвой (например, экологическая система «караси – щуки» или «зайцы – рыси») и
имеет вид: где N1(t) – численность жертвы в момент
времени t, N2(t) – численность хищника в момент времени t, ɛ1 – коэффициент
прироста жертвы в отсутствии хищника, ɛ2 – коэффициент смертности хищника, (-ɛ 2
– коэффициент прироста хищника в отсутствии жертвы, ɤ1 – коэффициент
истребления хищником жертв (выражением ɤ1 N1 определяет количество жертв, истребляемых
одним хищником в единицу времени), ɤ2 – коэффициент переработки съеденной
биомассы жертвы в биомассу хищника. Все коэффициенты являются положительными
постоянными [2].

В основе системы (1) лежат следующие
гипотезы:

1. В
отсутствии хищников жертвы размножаются неограниченно (N’1(t) = ɛ1 N1).

2. Хищники
в отсутствии жертв вымирают (N’2(t) = — ɛ2 N2).

3. Слагаемые,
пропорциональные члену N1N2, рассматриваются как превращение энергии (биомассы)
одного источника в энергию (биомассу) другого эффект влияния популяции хищников
на популяцию жертв заключается в уменьшении относительной скорости прироста
численности жертв (ɛ1) на величину, пропорциональную численности хищников).

Фазовым пространством системы (1) является
множество

R2+
=(N1, N2):N1≥0, N2≥0

Решив
систему

(ɛ1-ɤ1N2)N1=0

(-ɛ2+ɤ2N1)N2=0 найдем два положения равновесия системы
(1) P0(0,0)
и P1(ɛ2/ɤ2,ɛ1/ɤ1), которые
существуют при любых допустимых значениях параметров.

В окрестности произвольного положения
равновесия P* (N1*; N2*) для (1) соответствующая линеаризованная система имеет
вид: dx\dt
= (ɛ1-ɤ1N2*)x-ɤ1N1*y

dy\dt
= ɤ2N2*x+(-ɛ2+ɤ2N*) В окрестности точки P0 имеем: dx\dt
= ɛ1x

dy\dt
= -ɛ2y Так как собственные значения матрицы
системы вещественны и разного знака: λ1=
ɛ1>0, λ2
= -ɛ2<0 то положением равновесия P0 неустойчиво и
является седлом.

В
окрестности точки P1 линеаризованная система (2) принимает вид [4]:

dx\dt
= —

dy\dt
= Так как собственные значения матрицы
системы являются комплексными с нулевой вещественной частью: