Реферат на тему Численные методы алгебры

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретико-методологические аспекты исследования численных методов алгебры 5
1.1. Понятие численных методов алгебры 5
1.2. Оценка погрешности численных методов 6
1.3. Приближенное решение нелинейных уравнений 8
1.4. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 10
Глава 2. Практическое применение компьютерных пакетов для решения задач численными методами алгебры 17
2.1. Функциональное назначение компютерных пакетов в численных методах …………………………………………………………………………………17
2.2. Реализация графических методов с помощью математических пакетов 18
2.1. Реализация аналитических методов с помощью математических пакетов …………………………………………………………………………………19
Заключение 21
Список использованных источников 22
Глоссарий 23

Введение:

Простые математические задачи, изучаемые в курсе математики, во многих случаях предполагают возможность получения точных аналитических решений, в отличии от задач, возникающих на практике, что и обусловило актуальность исследования. Так реальные инженерные задачи, которые приводят к сложным математическим моделям большой размерности, требуют применения численных методов.
Большинство численных методов – это методы решения задач, дающие приближенное к точному решение с некоторой погрешностью. Исследованием численных методов алгебры занимались такие ученые, как: И.Ньютон (метод касательных при решении нелинейных уравнений и численный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, далее СЛАУ), К.Гаусс, В.Йордан (прямой метод решения СЛАУ), Ф.фон Зейдель (итерационный метод решения СЛАУ), У. Леверье, В.Крылов (методы в алгебраической проблеме собственных значений матрицы) и другие.
Значительно возросла роль численных методов в науке и инженерной практике с появлением быстродействующих мощных компьютеров. Но, несмотря на то, что основные рутинные вычисления делает компьютер, специалистам в различных сферах все же необходимы глубокие знания и навыки по численным методам. Например, при изучении промышленных технологических процессов, решении задач в области экономики, обработки данных не получается определить закономерность влияющих факторов. Поэтому для решения любой математической задачи существует несколько методов и программных реализаций.
Принимая во внимание важность проблемы, объектом исследования являются числовые методы алгебры, а предметом исследования – эффективность их применения на практике.
Целью исследования является изучение методологии основных численных методов и выявление наиболее эффективных из них для практического применения в разных сферах промышленности и экономики. Для этого поставлены следующие задачи:
— обзор и изучение литературных и интернет источников с целью понимания всех ограничений численных методов;
— выполнение нескольких итераций для дальнейшего сравнительного анализа полученных результатов;
— выявление условий стойкости численных методов и степени их достоверности;
— определение наиболее эффективных методов для решения конкретных практических задач.
Гипотезой исследования является проверка утверждения о том, что большинство численных методов алгебры – это некий алгоритм по выполнению арифметических действий с входящими данными.
В работе использованы следующие методы исследования: теоретические (аналитический, дедуктивный, сравнение, классификация, моделирование); специальные (численные методы и метод приближенного решения в нелинейных уравнениях, прямые и итерационные методы решения СЛАУ).
Практическая значимость исследования состоит в том, что на основе полученных результатов осуществляется подбор программных компьютерных пакетов для их реализации на практике.
Структура исследования состоит в: обосновании актуальности темы работы, определении объекта, предмета, целей, задач и методов; изучении теоретических аспектов (понятия численных методов алгебры, их характеристики; оценка погрешности численных методов); заключении, в котором интерпретируются результаты, формируются выводы.

Заключение:

В ходе работы было изучено методологию существующих численных методов, выявлены наиболее эффективные из них для решения поставленных конкретных задач.
Действительно численные методы алгебры можно свести к определенному алгоритму по выполнению арифметических действий с входящими данными. Как видим, большинство методов дают приближенное значение с некоторой точностью. Поэтому для решения конкретной математической задачи важно правильно выбрать метод решения и программную реализацию.
Сейчас с появлением мощных ЭОМ стало не очень существенным число итераций, количество необходимой для программы памяти в компьютере. Поэтому различия в методах тоже не существенные, получаемый результат решения задачи одинаков.
Так наиболее удобным математическим пакетом для реализации графических алгоритмов является Maple® [https://www.maplesoft.com], а для аналитических лучше подходит Matlab® [https://www.mathworks.com].

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретико-методологические аспекты исследования численных методов алгебры

1.1. Понятие численных методов алгебры

Счисление – совокупность приемов представления натуральных чисел .
Численные методы – это инструментарий вычислительной математики , с помощью которого математическая задача формулируется в виде, удобном для решения на компьютере. Тогда математическую задачу называют расчётной задачей.
Все численные методы имеют специфические свойства и характеристики, которые отличают их от точных аналитических методов. Эффективность численного метода оценивается такими характеристиками как: совпадение метода, стойкость численного процесса и погрешность аппроксимации (разница между точным и приближенным значением решения задачи).
Скорость совпадения – это число итераций, то есть циклов расчётов, исполнение которых необходимо для получения заданной точности решения.
Малая погрешность в начальных условиях вызывает небольшие изменения в конечном результате. Алгоритм с таким свойством называется устойчивым.
Особенности численных методов:
1) Предусматривают проведение большого количества рутинных арифметических расчетов с помощью рекурсивных соотношений для организации итераций с измененными начальными условиями для улучшения точности результата;
2) Направленные на локальное упрощение задачи. Например, применяемые нелинейные зависимости линеализируются или производные заменяются разностными аппроксимациями;
3) Значительно зависят от близости изначального приближения (или нескольких приближений), от свойств нелинейных функций математических моделей, что накладывает ограничения для получения единого решения.