Платная доработка на тему Вычислительная математика вариант 7

Содержание:

Введение……………………………………………………………………………………. 4

1. Решение не линейных уравнений……………………………………………… 6

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………. 6

1.2. Отделение корней……………………………………………………………… 7

1.2.1. Метод половинного деления………………………………………… 7

1.2.2. Графическое отделение
корней…………………………………….. 9

1.3. Итерационные методы
уточнения корней…………………………. 10

1.3.1. Метод простой итерации……………………………………………. 10

1.3.2. Метод Ньютона………………………………………………………… 13

1.3.3. Метод секущих…………………………………………………………. 14

1.3.4. Метод хорд………………………………………………………………. 15

1.4. Задача……………………………………………………………………………. 17

2. Решение систем нелинейных
уравнений………………………………….. 27

2.1. Постановка задачи………………………………………………………….. 27

2.2. Метод простой итерации…………………………………………………. 27

2.2.1. Условия сходимости метода
простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка………………………………………………………… 28

2.2.2. Общий случай построения
итерирующих функций……… 30

2.3. Метод Ньютона для систем
двух уравнений……………………… 31

2.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными… 32

2.5. Задача……………………………………………………………………………. 33

3. Решение систем линейных  алгебраических уравнений (СЛАУ)… 38

3.1. Метод Гаусса………………………………………………………………….. 38

3.2. Метод простой итерации…………………………………………………. 41

3.3. Метод Зейделя………………………………………………………………… 42

3.4. Задача……………………………………………………………………………. 43

4. Интерполирование функций
(приближение функций)………………. 52

4.1. Интерполяция по Лагранжу…………………………………………….. 52

4.2. Интерполяция по Ньютону………………………………………………. 52

4.3. Задача……………………………………………………………………………. 53

5. Численное интегрирование.
Численное дифференцирование…….. 55

5.1. Метод прямоугольников…………………………………………………. 55

5.2. Метод трапеций………………………………………………………………. 59

5.3. Метод парабол (метод
Симпсона)…………………………………….. 61

5.4. Задача……………………………………………………………………………. 63

6. Численное решение обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ)………………………………………………………………………………………………………… 65

6.1.
Метод Эйлера…………………………………………………………………. 65

6.2.
Метод Рунге-Кутта………………………………………………………….. 67

6.3. Задача……………………………………………………………………………. 68

Заключение………………………………………………………………………………. 73

Список
использованных источников 74

Введение:

Вычислительная математика
отличается от других математических дисциплин следующими специфическими
особенностями.

1. Вычислительная математика обычно имеет дело не с
непрерывными, а с дискретными объектами, которыми приближаются непрерывные.
Так, вместо отрезка прямой часто рассматривается система точек (это введенная на
отрезке СЕТКА), вместо непрерывной функции f(х) — табличная функция , вместо первой производной — ее разностная аппроксимация,
например, Такие замены,
естественно, порождают погрешности метода.

Погрешности метода
являются неустранимыми погрешностями.

2. В машинных вычислениях используются числа с конечным
количеством знаков после запятой (конечные приближения действительных чисел) из-за
конечности длины мантиссы при представлении действительного числа в памяти ЭВМ.
Другими словами, в вычислениях присутствует машинная погрешность (округления) . Это приводит к вычислительным эффектам, неизвестным,
например, в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
уравнений математической физики или в математическом анализе.

3. В вычислительной практике большое значение имеет обусловленность задачи, т. е.
чувствительность ее решения к малым изменениям входных данных.

Заключение:

Вычислительная математика
является одной из основных инженерных дисциплин. Это связано с тем, что далеко
не все задачи можно решить аналитически. В связи с этим для получения решения
необходимо использовать иные методы, которые позволяют найти некоторое
приближение к решению.

Настоящая работа
посвящена изучению численных методов решения различных инженерных задач. В
процессе выполнения работы были решены следующие задачи:

1. Обзор численных методов решения нелинейных уравнений,
систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, методов интерполирования
функций, методов численного интегрирования функций, методов решения систем
дифференциальных уравнений, заданных в форме Коши;

2. Практическая реализация указанных методов различными
инструментальными способами.

Фрагмент текста работы:

1. Решение не
линейных уравнений

1.1. Постановка задачи

При решении многих
математических и практических задач возникает необходимость найти корни
нелинейного уравнения вида:

f(x) = 0 . (1)

Хорошо, если это
уравнение простого вида и для него есть приемлемые формулы решения! А если это
уравнение, например, трансцендентно и не имеет аналитического решения вообще!

Итак, нелинейные
уравнения можно разделить на алгебраические и трансцендентные, которые кроме
алгебраических функций содержат, например, логарифм или экспоненту.

Для простых уравнений
можно применить прямые методы, позволяющие записать корни в виде некоторых
конечных соотношений. В остальных случаях для нахождения корней прибегают к
итерационным методам, которые от шага к шагу приближают нас к решению, хотя
практически никогда мы не можем получить точного решения. Т.е. итерационные
методы (и мы идем на это умышленно!) получают решение с какой-то, заранее
заданной точностью.

Таким образом, решение
уравнений (1) при этом осуществляется в два этапа :

1) определение
местоположения, характера интересующего нас корня и выбор его начального
значения;