Платная доработка на тему Приближение функций суммами Фурье Чебышева в среднем

Содержание:

Введение. 2

Теоретические аспекты
приближения функций суммами Фурье Чебышева в среднем  4

1. Общая постановка задачи
приближения функции. 4

2. Приближение функций и её
производных частными суммами Фурье-Чебышёва  11

Заключение. 25

Список использованных
источников. 27

Введение:

Метод аппроксимации для среднего арифметического. Ряд Фурье
2p-периодических функций имеет богатую историю и основан на работах Л. Фейера,
А. Лебега и др., На сегодняшний день к среднему арифметическому методу Фейера
тригонометрического ряда Фурье достаточно хорошо изучен и нашел широкое
применение в полиномиальном приближении. А. В. Ефимов получил выражение
основного члена отклонения функции от ее сумм Фейера и сумм Фурье, а также
установил асимптотически точные равенства для верхних пределов этих отклонений,
распространяющихся на классы H2a и W Hr2a в непрерывной метрике. G.K. Лебедь и
А.А. Авдеенко достиг аналогичных результатов в интегральной метрике.

В 1956 году М. М. Джрбашян ввел рациональные ряды Фурье,
обобщив соответствующие классические тригонометрические ряды. Одним из основных
результатов этой работы было компактное представление ядра Дирихле рациональных
рядов Фурье. Исходя из этой точки зрения, В.Н. Русак предложил рациональных
операторов, таких как Фейер, Джексон, Валле Пуссен.

Рациональные операторы Джексона и Валле Пуссена широко
используются в теории рациональных приближений как с фиксированными, так и со
свободными полюсами. С их помощью были найдены новые классы функций, отражающие
характеристики рационального приближения. Операторы Rational Feyer не нашли
этого приложения и практически не использовались.

В интервале [-1; 1], рациональные интегральные операторы
типа Фейера на основе частичных сумм рядов Фурье — Чебышева построены и изучены
в соответствии с системой рациональных функций, введенной М. М. Джрбашяном и А.
А. Китбальяном как метод рациональных приближений с фиксированными полюсами.

Аппроксимации функций, удовлетворяющих условию Липшица, с
помощью интегральных рациональных операторов типа Фейера изучались на
вещественной оси и на интервале.

Задача аппроксимации функции x на отрезке [-1; 1] принесла
свою богатую историю с начала 20-го века, когда А. Лебег, Д. Джексон и С. Н.
Бернштейн заинтересовались полиномиальным приближением этого примера
нерегулярной функции. Многочисленные исследования посвящены этой проблеме.
Новый импульс в его исследовании дал работа Д. Ньюмана по рациональному
приближению функции x на интервале [-1; 1]. Тема была продолжена во многих
работах, и окончательный результат был получен Г. Шталем.

Начало исследования аппроксимаций функции xs, s> 0, также
положил С. Н. Бернштейн. На сегодняшний день существует довольно большое
количество работ, посвященных как наилучшим приближениям этой функции, так и
конкретным методам приближения.

Некоторые авторы построили и изучили ряды Фурье для системы
чебышевско-марковских алгебраических дробей, являющейся обобщением классической
системы чебышевских многочленов первого типа. В частности, построен интеграл
Дирихле, и его приближенные свойства изучены в приближениях отдельных функций.

В этом документе на основе приведенных выше результатов
изучается аппроксимация функций на основе средних сумм Фурье-Чебышева.

Таким образом, объектом исследования является приближение
функций, а его предметом – приближение функций суммами Фурье Чебышева в среднем.

Объект и предмет исследования определили его цель – изучить
приближение функций суммами Фурье Чебышева в среднем.

Заключение:

Элементами важной и интересной области математики являются
теория приближения функций. Под аппроксимацией функции мы подразумеваем замену,
согласно определенному правилу, одной функции другой, близкой к оригиналу в том
или ином смысле. Практическая потребность в такой замене возникает в различных
ситуациях, когда эту функцию необходимо заменить более простой и удобной для
расчетов, чтобы восстановить функциональную зависимость экспериментальных
данных и т. Д.

Основоположником теории приближения функций является великий
русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894).

Чаще всего алгебраические и тригонометрические полиномы
выбираются в качестве аппроксимирующих функций. Не менее важным является метод
наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения
практических задач, связанных с конструированием линейно-направляющих шарнирных
механизмов. Такие механизмы в 19 веке использовались в паровых двигателях —
основных универсальных двигателях того времени — для поддержания прямолинейного
движения штока поршня. К ним относятся параллелограмм Ватта и некоторые его
разновидности.

На дальнейшее развитие этой теории повлияло открытие,
сделанное в конце 19-го века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Он
доказал фундаментальную возможность приближения произвольной непрерывной
функции с любой заданной степенью точности алгебраическим полиномом, что
явилось второй причиной использования этих полиномов в качестве универсального
средства приближения функций с заданной сколь угодно малой ошибкой.

Помимо алгебраических полиномов, другим средством
аппроксимации функций являются тригонометрические полиномы, значение которых в
современной математике, конечно, не ограничивается этой ролью.

Теория приближения функций является одним из наиболее
интенсивно развивающихся направлений современной математики. Объектом теории
приближений являются проблемы, связанные с необходимостью замены комплексных
функций линейными суммами конечного числа более простых функций, чтобы ошибка,
возникающая в этом случае, была минимальной. Чтобы найти минимальную ошибку,
необходимо найти точную верхнюю границу ошибки аппроксимации заданным методом
для фиксированного класса функций, то есть вам необходимо решить экстремальную
задачу, чтобы получить окончательный результат. Таким образом, решение должно
быть приведено к точным константам, где, по сути, ничто не может быть уменьшено
или добавлено. Эта последняя задача требует нахождения точных значений
различных диаметров для заданных классов функций.

Работа носит теоретический характер. Разработанные в нем
методы и полученные результаты могут быть использованы в других экстремальных
задачах теории приближений. Только первая глава может составить содержание
специальных курсов для студентов и аспирантов высших учебных заведений,
обучающихся в области математики и прикладной математики.

Фрагмент текста работы:

Теоретические аспекты приближения функций суммами Фурье Чебышева
в среднем

1. Общая постановка задачи приближения функции

В математике функция означает — зависимость. Это самое
простое и самое короткое объяснение.

Только математика, как обычно, дает нам больше трудностей в
понимании. Термин функция в математике появился только в 17 веке. Хотя само
явление было известно гораздо раньше в переписке двух математиков Бернулли и
Лейбница, это слово использовалось в значении, очень близком к современному.

В математике была функция, и раньше не было общепринятого
термина, а его определения не было. Например, не менее известный Пьер Ферма
(автор теоремы своего имени), Рене Декарт и даже Ньютон прекрасно понимали эту
тему, но не использовали этот термин.

Первое определение функции в математике было дано Леонардом
Эйлером в 1751 году. До Эйлера функция была объяснена как: «Некоторые сравнения
между константами и переменными» [5].

Эйлер выразил это гораздо более решительно:

Эйлер полагал, что функция была соответствием между парами
чисел

Когда некоторые величины зависят от других таким образом,
что, когда они изменяются, они сами претерпевают изменения, первые называются
функциями последних …

Зависимость одного набора чисел от другого является
функцией. В то время, когда знаменитый математик писал эти слова, он участвовал
в так называемом споре о веревке.

Следовательно, зависимость (или связь или соответствие)
одного множества от другого.

Эта зависимость обозначается буквой ƒ

y=ƒ(x)

Здесь x является аргументом функции или независимой
переменной, а y является зависимой переменной или «функцией-x».

Это может быть прочитано как «каждое игровое значение
соответствует определенному значению (и определяется законом f (x)) значения x»
или «игра зависит от x согласно определенному закону».

То есть, когда два набора (набора) чисел или объектов
взаимосвязаны в соответствии с законом, мы имеем дело с функцией. X и игра —
это просто буквы, которые используются для использования в одиночку, они ничего
не значат, вы можете написать больше.

На практике известно 3 способа настройки функций:
аналитический, графический, табличный. В инженерной практике наиболее
распространенным случаем является случай, когда тип связи между параметрами X и
Y неизвестен, то есть невозможно записать это отношение как зависимость y = f
(x). Как правило, даже при известной зависимости y = f (x) она настолько
громоздка, что ее использование в практических вычислениях затруднительно. Чаще
всего этот отчет представляется в виде таблицы, например, дискретный набор значений
аргумента {xi} связан с набором значений функции {yi} (i = 1, 2, .., n). Эти
значения являются результатом расчетов или экспериментальных данных. На
практике нам могут понадобиться значения y в точках, отличных от узлов xi.
Часто эти значения могут быть получены только с помощью сложных расчетов или
путем проведения дорогостоящих экспериментов. Следовательно, необходимо
использовать доступные табличные данные для приблизительного расчета требуемого
параметра y для любого значения (из определенной области) определяющего
параметра x, поскольку точное соотношение y = f (x) неизвестно. Задачи
исследования в большинстве случаев требуют установления определенного типа
функциональной зависимости между характеристиками изучаемого явления. Цель
аппроксимации функции служит этой цели. Те. Задача аппроксимации
(аппроксимации) функции состоит в том, чтобы приблизительно заменить
(аппроксимировать) данную функцию f (x) на некоторую функцию φ (x), значения
которой в этой области не очень отличаются от экспериментальных данных. — f (x)
≈ φ (x). Методы решения этой проблемы относятся к категории численных методов
или методов вычислительной математики. Одним из способов аппроксимации функций
является интерполяция. Используется в тех случаях, когда базовая информация о приближенной
функции предоставляется в виде таблицы ее значений. В результате решения
проблемы интерполяции линия, соответствующая функции интерполяции, обязательно
пройдет через все точки исходных данных. В этом случае точки являются узлами
интерполяции. При интерполяции аппроксимация должна иметь ту же таблицу
значений, что и приближенная функция [14]: