Платная доработка на тему Неразрешимые задачи на построение циркулем и линейкой (поднять оригинальность)

Содержание:

Введение 2

Глава 1. Неразрешимые задачи на построение 5

1.1. Исторический аспект неразрешимых задач на построение циркулем и линейкой 5

1.2. Неразрешимость задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки 6

Глава 2. Задачи на построение, неразрешимые циркулем и линейкой 11

2.1. Задача о трисекции угла 11

2.2. Задача о квадратуре круга 16

Заключение 23

Список литературы 24

Введение:

С древних времен в Древней Греции зарождались первоосновы геометрии. Там впервые был изобретен циркуль, а также для первых измерений была использована линейка. Первые построения были выполнены именно с помощью данных предметов. Древние Греки активно развивали начальные навыки геометрических построений. Несмотря на стремительное развитие в области геометрии, исследователи того времени не всегда могли выполнить то или иное геометрическое построение. При этом, геометрическим считалось только то построение, которое выполнялось при помощи линейки и также циркуля. Такие известные задачи на построение сохранились с древних времен. К этим задачам можно отнести следующие: о квадратуре круга, о трисекции угла, об удвоении куба.

В Древней Греции при решении данных трех задач исследователи не могли использовать линейку и циркуль, поэтому применялись другие методики. В этот период были придуманы кривые циссоида Диоклеса, конхоида Никомеда и квадратриса Динострата. Для первых двух кривых были придуманы специальные устройства. Используя данные перечисленные элементы-кривые, такие задачи можно было легко решить с помощью линейки, а также с использованием циркуля.

Устройства для вычерчивания кривых представляли собой чертеж. Данный чертеж выполнялся при помощи линейки и под циркуль. В процессе изменения положения такого чертежа и была получена одна из кривых. Однако такого прибора не существовало для создания квадратрисы Динострата. Поэтому решение такой задачи рассматривается отдельно от двух других.

При этом отмечается, что в зависимости от того, какие приборы используются в геометрии, можно определить разрешимость задач. Отсутствие разрешимости задач доказывается на основе алгебраического метода. В частности, можно рассматривать для доказательства уравнение третьей степени, которое позволяет определить необходимую величину «x». Если в этом уравнении коэффициенты – целые числа, а также при этом оно не обладает конкретными рациональными корнями, то рассматриваемая задача не может быть решена с использованием линейки, а также циркуля.

В древнегреческих построениях линейка и циркуль отличались внешним видом от их современных вариантов, в частности у них отсутствовали какие-либо деления.

Использование других геометрических приборов позволяет перевести 3 рассматриваемые задачи из статуса неразрешимых в статус разрешимых. В древности исследователям было сложно классифицировать задачи по принципу их построений, а также используемых при этом приборов. Циркуль и линейка позволяли построить древним грекам не все правильные многоугольники.

Цель работы: проанализировать и доказать неразрешимость задач с использованием построений, на основе линейки и циркуля.

Для того, чтобы достичь поставленной цели, нужно решить ряд задач: проанализировать исторические аспекты в рамках рассматриваемой темы, изучить известные в литературе способы решения задач, выполнить некоторые способы решения задач (с другими условиями).

Заключение:

Моделирование циркулем и линейкой операций над произвольными действительными числами приводит к обобщению известного алгебраического метода решения задач конструктивной геометрии. В настоящей работе были рассмотрены задачи, неразрешимые при помощи циркуля и линейки (в частности, классические задачи древности). Все они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой.

Хотя удвоение куба оказалось неразрешимым с помощью только циркуля и линейки, его можно осуществить, если помимо циркуля и линейки использовать другие средства, например, мезолябий Эратосфена или конхоиду Никомеда, также удвоение куба можно осуществить построением с помощью плоского оригами. Решение вышеизложенной задачи долго разыскивалось и безрезультатно лишь потому, что ставились условия применения только циркуля и линейки. Не поддаваясь решению, эта проблема привела к созданию новых, весьма замечательных направлений математической мысли.

Сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решений любители математики – среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. В итоге, все старания решить задачу при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. При попытках решить эту задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Неразрешимые задачи на построение

1.1. Исторический аспект неразрешимых задач на построение циркулем и линейкой

Принято считать, что задача про удвоение куба появилась во времена пифагорийцев, примерно в 540 г. до н. э. Вероятнее всего, она появилась, как и задача об удвоении квадрата, которая легко решается, при помощи теоремы Пифагора, где нужно строить квадрат на диагонали заданного квадрата.

Как гласит легенда, жителями Афин, на которых боги послали эпидемию чумы, была отправлена делегация к оракулу на остров Делос чтобы получить совет, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. На что Боги им ответили: «Нужно удвоить жертвенник храма Аполлона, и тогда чума прекратиться». Жертвенник был кубической формы. Жители Афин решили, что задание довольно простое, и решили построить новый жертвенник, с ребром в два раза большим. Но чума не прекратилась, а еще более усилилась. Афиняне опять обращаются к оракулу и полают в ответ: «Лучше изучите геометрию» [12, 9]. История не уточняет о том, каким образом удалось умилостивить богов, но чума в итоге прекратилась. И задача об удвоении куба стала называться — делосская задача. Другая легенда, о том, что неким греческим комментатором VI в. до н. э. сообщается о письме, вероятно написанным Птолемею I, о том, что царем Миносом построено на могиле сына надгробие имеющее кубическую форму, но царь недоволен размерами памятника и дал распоряжение увеличить вдвое ребро куба, тем самым увеличить памятник в размерах. Комментатор говорит об ошибке царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате была увеличена в четверо, объём в восемь раз) геометрами были предприняты попытки решить поставленную задачу.

Устройства для вычерчивания кривых представляли собой чертеж. Данный чертеж выполнялся при помощи линейки и под циркуль. В