Магистерский диплом (ВКР) на тему Методические материалы для изучения темы «Логарифмические уравнения и неравенства» на профильном уровне.

Содержание:

Введение……………………………………………………………………………………………. 3

Глава 1.
Логарифмические уравнения и неравенства в элементарной математике………………………………………………………………………………………………………….. 6

1.1. Понятие логарифма,
логарифмического уравнения и неравенства…. 6

1.2. Краткие исторические сведения.
Логарифмы в науке и технике……. 14

1.3. Анализ методов решения
логарифмических уравнений и неравенств 20

1.3.1. Методы решения логарифмических
уравнений……………………… 20

1.3.2. Методы решения логарифмических
неравенств…………………….. 25

Глава 2.
Методические особенности изучения темы «Логарифмические уравнения и
неравенства» на профильном уровне………………………………………………….. 40

2.1. Анализ ФГОС и УМК по алгебре и
началам анализа 10-11 классов 40

2.2. Методические рекомендации по
обучению решению логарифмических уравнений и неравенств…………………………………………………………………… 44

2.3. Использование ИКТ при изучении
темы «Логарифмические уравнения и неравенства»………………………………………………………………………………….. 50

Глава 3.
Система дистанционного обучения и элективный курс по теме «Логарифмические
уравнения и неравенства»…………………………………….. 55

3.1. Система дистанционного обучения
математике…………………………… 55

3.2. Содержание элективного курса по
теме «Логарифмические уравнения и неравенства»………………………………………………………………………………….. 69

3.3. Содержание образовательной среды
для дистанционного обучения по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»………………………………….. 70

Заключение………………………………………………………………………………………. 79

Список литературы 82

Введение:

Знания
по математике необходимы каждому человеку на сегодняшний день. Математические
знания формируют ту основу, которая оказывает воздействие на новые разработки в
научной области и технической. В школьном обучении математические знания
оказывают помощь обучающимся в процессе познания окружающей действительности, в
процессе развития навыков использования теоретических знаний в практической
деятельности. Каждое мастерство в любой из сфер человеческой деятельности
нуждается в знаниях по математике. На сегодняшний день в связи с активным
становлением науки и других сфер развития общества невозможно обойтись без
глубоких знаний по математике.

Логарифмы,
как математический инструмент, позволяют делать надежные прогнозы, основанные
на фундаментальной объяснительной теории, а также позволяют значительно
упростить расчеты в области научных исследований.

В
школьном курсе «Алгебра и начала анализа» учащиеся систематически изучают
экспоненциальные и логарифмические функции и их свойства, тождественные
преобразования логарифмических и экспоненциальных выражений и их применение к
решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными
понятиями и утверждениями.

По
теме «Логарифмическая функция» программой предусмотрено рассмотрение и изучение
следующих вопросов: логарифм числа; основные свойства логарифмов;
логарифмическая функция, ее свойства и график; решение логарифмических
уравнений и неравенств; число е и натуральный логарифм.

Уравнения
и неравенства занимают особое место в школьном курсе математики. Стоит
отметить, что решение уравнений и неравенств часто применяется в важных
прикладных задачах. Однако логарифмические уравнения и неравенства в школьном
курсе занимают не так много времени. В то же время задания из этой темы
достаточно часто встречаются на экзаменах, и они зачастую вызывают трудности у
учащихся, потому что для их решения не всегда достаточно применить элементарные
преобразования, изучаемые в школьном курсе. Особое значение логарифмические
уравнения имеют для развития школьника. За счет решения таких уравнений у
учащихся усиливается уровень интеллектуального развития, повышается качество
творческих возможностей. При решении логарифмических уравнений школьники
пополняют свою математическую культуру. Кроме того, в данном процессе происходит
более детальная проработка математического материала, его освоение, формируются
основные логические операции.

К
старшим классам основной целью подготовки учащихся становится подготовка к
сдаче ЕГЭ. Для того чтобы данный экзамен по математике прошел успешно при
обучении требуется принимать во внимание и усвоение материала по решению
логарифмических уравнений. На уроках алгебры в старших классах при обучении
решению логарифмических уравнений можно применять различные задания. За счет
этого усиливается познавательная активность школьников, активизируется их
деятельность на уроке, этим и обусловлена актуальность выбранной темы.

Объект исследования – тема «Логарифмические уравнения и неравенства» на профильном
уровне обучения математике.

Предмет исследования – методические материалы для
изучения темы «Логарифмические уравнения и неравенства» на профильном уровне
обучения математике.

Целью исследования
является рассмотрение различных подходов к изучению логарифмических уравнений и
неравенств в школьном курсе математики на профильном уровне и разработка
соответствующих методических материалов.

Основные
задачи исследования:

1. Проанализировать понятие логарифма,
логарифмического уравнения и неравенства.

2. Проанализировать краткие исторические
сведения, рассмотреть логарифмы в науке и технике.

3. Выделить основные методы метод решения
логарифмических уравнений и неравенств.

4. Проанализировать ФГОС и УМК по алгебре
и началам анализа 10-11 классов.

5. Представить методические рекомендации
по обучению решению логарифмических уравнений и неравенств.

6. Проанализировать использование ИКТ при
изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства».

7. Сделать обзор о методах дистанционного
обучения математике.

8. Представить содержание элективного
курса по теме «Логарифмические уравнения и неравенства».

9. Создать
образовательную среду для дистанционного обучения.

Практическая
значимость исследования заключается в возможности использования разработанных
образовательных материалов в образовательном процессе по математике при
дистанционном обучении по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» на
профильном уровне.

Структура
исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка
литературы.

Заключение:

История
развития логарифмов достаточно древняя и глубокая (берет начало примерно 2000
до нашей эры). Так, использование первых логарифмов отмечается еще в Древнем
Вавилоне. Именно в то время люди использовали интерполяционные методы, которые
прослеживались в зависимости значений целой положительной степени числа в
таблице и определением сложного процента.

Логарифм
для положительного числа по основанию , где , является показателем степени,
в которую необходимо возвести число , чтобы было получено число . При решении неравенств или
их систем необходимо знать свойства неравенств, свойства логарифма, логарифмической
функции и её график.

Логарифмическая
функция применялась в первую очередь для упрощения вычислительных операций,
включая переводные периоды от численного значения к логарифму, затем наоборот.
За счет открытия логарифмов значительно упростились действия с показателями
степеней при умножениях и делениях чисел. Все вышесказанное, несомненно, внесло
значимый вклад в развитие современного понимания логарифма и логарифмической
функции в математике.

Логарифмическим
уравнением называется уравнение, которое содержит переменную под знаком
логарифма. Изучение уравнений и неравенств очень важно в школьном курсе
математики, так как примеры, содержащие показательные уравнение и неравенства,
встречаются в заданиях ЕГЭ, причём не только в составе логарифмических и
показательных уравнений и неравенств, но и в системах и смешанных уравнениях.
Применение логарифмов с целью удовлетворения практической потребности человека
– это неотъемлемая часть сегодняшней жизни. Логарифмы позволяют уменьшить и
упростить трудное вычисление, они также лежат в основе физического и
сейсмологического процесса, происходящего в природной среде, помогают
установить раздражительность человека в определенной ситуации и т.д.

Тема
«Логарифмические уравнения и неравенства занимает значительное место в школьном
курсе математики. Уровень ее освоения напрямую оказывает влияние на общий
уровень математической подготовки обучающегося. Задачи по данной теме встречаются
в наборе заданий единого государственного экзамена. Цель изучения темы
«Логарифмические уравнения и неравенства» заключается в формировании понятия
логарифма числа; обучении применению свойств логарифмов в процессе решения
уравнения; изучении свойств логарифмических функций и умении использовать их
свойства в процессе решения логарифмического уравнения и неравенства. Тема
«Логарифмические уравнения и неравенства занимает значительное место в школьном
курсе математики. Уровень ее освоения напрямую оказывает влияние на весь
уровень знаний ученика по математике.

Из всех перечисленных платформ каждый учитель может
выбрать именно ту, которая подойдет и будет удобная в использовании.
Дистанционное обучение подходит для тех, кто живет в отдаленных районах, а
также для тех, кто по определенным причинам не может посещать очную форму
обучения. У ученика в дистанционном обучении нет строгого расписания занятий, и
все нюансы всегда можно решить самым быстрым способом с помощью электронной
почты или Скайпа. В настоящее время дистанционное образование имеет особое
место, значение и статус. Разрабатываемый дистанционный элективный курс должен
наиболее полно объяснить учащимся методы решения логарифмических уравнений и
неравенств. Курс направлен на то, чтобы помочь ученику, выпускнику при
подготовке и успешной сдаче единого государственного экзамена и при обучении в
вузах.

Из всего вышесказанного следует, что внедрение технологий
дистанционного обучения является оптимальным инструментом углубления знаний учеников
по математике. Именно Google Classroom обладает всеми преимуществами
превращения в популярную международную платформу для онлайн-обучения.

Разработка дистанционного образовательного курса
«Логарифмические уравнения и неравенства» позволила реализовать следующие
задачи:

¾ изучен
и проанализирован теоретический материал по данной теме, новизна и значимость
данного материала для подготовки к текущему контролю и экзаменам;

¾ определены
методические особенности данной темы, методику её преподавания каждый учитель
подбирает для себя самостоятельно, учитывая способности учащихся;

¾ расширен
кругозор учащихся, ограниченный информацией учебника.

Таким
образом, цель, поставленная в работе, достигнута, а задачи решены.

Фрагмент текста работы:

Глава
1. Логарифмические уравнения и неравенства в элементарной математике

1.1.
Понятие логарифма, логарифмического уравнения и неравенства

Определим
понятие логарифма и его свойства из школьного курса математики. «Логарифмическая
функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма
учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения  в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Данное уравнение в случае b>0 имеет единственный корень,
который называют логарифмом b по
основанию a и обозначают , т.е. » [3].

Определение.
«Логарифм положительного числа b по основанию а, где , — это показатель степени,
в которую требуется возвести число а, чтобы получить b» [3].

К
примеру,

.

Понятие
логарифма можно интерпретировать следующим образом: Данное
равенство будет справедливым при

Как
правило, данное равенство называется основное логарифмическое тождество [7].

К
примеру, . При помощи основного логарифмического
тождества есть возможность доказать, к примеру, что  — это корень уравнения . Фактически,

На
основании определения логарифма можно получить, что  и . Применяя однозначность
логарифмов, получим, что при  и при  во всех случаях .

Логарифмирование
– это действие по нахождению логарифма.

В
процессе выполнения преобразований выражения, содержащего логарифм, в ходе
вычислений и в процессе решения уравнений зачастую применяются разные свойства
логарифмов. Рассмотрим главные из них.

Допустимлюбое действительное число.
Следовательно, будут справедливыми следующие формулы [13]: (4)

 (5) Также
сюда можно отнести правило по переходу от логарифма с одним основанием к
логарифму с иным основанием: В
соответствии с основным логарифмическим тождеством: 1)
Умножая равенства (6) и (7), можем получить следующее: Следовательно,
в соответствии с определением логарифма .

Формула
(1) доказана.

2)
Разделив равенства (6) и (7), можем получить следующее: Следовательно,
в соответствии с определением логарифма следует формула (2).

3)
Возводя основное логарифмическое тождество  в степень с показателем r, получаем откуда по определению
логарифма следует формула (3) [17, 23].

4) В
соответствии с основным логарифмическим тождеством: В
соответствии со свойством степени положительных чисел имеем: Учитывая,
что  получаем: В
соответствии со свойством степени положительных чисел имеем: Получаем: То
есть: 5) В
соответствии с основным логарифмическим тождеством: Тогда: В
итоге получаем: 6) В
соответствии с основным логарифмическим тождеством: