Магистерский диплом (ВКР) на тему Избранные аддитивные задачи теории специальных чисел

Содержание:

Введение. 4

1
Доказательство теоремы о многоугольных числах. 6

1.1
Принципы образования многоугольных чисел. 6

1.2
Теорема Ферма о многоугольных числах. 9

2
Доказательства частных случаев теоремы Ферма, теоремы Лагранжа, теоремы Гаусса
о треугольных числах, теоремы Коши для пяти-шести угольных числах. 19

3
Задачи аддитивной теории чисел. 24

Заключение. 48

Список
литературы.. 50

Введение:

Актуальность темы. В настоящее время большое внимание ученых уделяется
решению задач и проблем разбиения (или разложения) целых чисел на слагаемые
заданного типа, а также алгебраическим и геометрическим аналогам таких задач,
касающихся полей алгебраических чисел и множеств точек решетки. Подобные
проблемы называются аддитивными.

К
классическим задачам аддитивной теории чисел относятся: представление числа в
виде суммы четырех квадратов, девяти кубов и т. д. (проблема
Варинга); представление данного числа в виде суммы не более чем трех
простых чисел (задача Гольдбаха); представление данного числа в виде
суммы одного простого числа и двух квадратов (проблема Харди – Литтлвуда)
и тд.

Задачи
аддитивной теории чисел решаются аналитическими, алгебраическими, элементарными
и смешанными методами, а также методами, основанными на вероятностных
представлениях. В зависимости от выбранного метода аддитивные задачи
составляют часть различных разделов теории чисел — аналитической,
алгебраической и вероятностной теории чисел.

Многие
классические задачи аддитивной теории чисел решаются с помощью производящих
функций. Этот метод был введен Эйлером и лежит в основе аналитических
методов, разработанных Г. Х. Харди, Дж. Литтлвудом и И. М. Виноградовым.

Целью написания
магистерского диплома является изучение, анализ, отбор и решение избранных
аддитивных задач теории чисел.

Для достижения
поставленной цели поставлены следующие задачи:

1. На
основе исследования справочной, учебной, научно-популярной и научной
литературы, имеющихся теоретических исследований отобрать и систематизировать
материал, связанный с классическими проблемами аддитивной теории чисел;

2. Провести
детальный анализ классических проблем аддитивной теории чисел, составить
краткий обзор проблематики с исторической справкой, формулировкой основных результатов,
большим числом конкретных примеров;

3. Дать
детальное подробное доказательство ряда частных случаев теоремы Ферма о
многоугольных числах (в том числе для k=3, 4, 5, 6) со всеми необходимыми
выкладками, проиллюстрировать основные этапы доказательства примерами.

4. Отобрать
и решить избранные аддитивные задачи теории чисел, связанные со школьным курсом
математики; разработать собственную систему аддитивных задач, пригодную для
использования в рамках профильного обучения. Объектом исследования
магистерской диссертации является процесс решения избранных аддитивных задач
теории специальных чисел.

Предметом исследования
магистерской диссертации являются избранные аддитивные задачи теории
специальных чисел.

При написании работы были
использованы методы анализа, сравнения, дедукции.

Представленные в
магистерской диссертации результаты можно использовать для использования в
рамках профильного обучения.

Положения, выносимые на защиту: примеры решения задач

Заключение:

В результате написания выпускной квалификационной
работы представлены избранные аддитивные задачи теории специальных чисел, а
также рассмотрены примеры задач и заданий, которые рассматриваются в школьном
курсе математики и связаны с проблемами Варинга, теоремой Ферма о многоугольных
числах.

Показано, что
многоугольные
числа — это неотрицательные целые числа, построенные и представленные
геометрическими расположением равноотстоящих точек, образующих правильные
многоугольники.

Эти числа изначально изучались Пифагором, их долгая история
датируется 570 г. до н.э., и часто упоминается греческими математиками. В
античный период многоугольные числа описывались единицами, которые выражаются
точками или камешками, образующими геометрические формы.

Установлено, что теорема
Ферма о многоугольных числах утверждает,
что каждое положительное целое число может быть выражено как сумма не более чем n n-гональных чисел.

Это
означает, что каждое положительное целое число может быть выражено как сумма до
трех треугольных чисел, четырех квадратных чисел, пяти пятиугольных чисел и т.
д.

Ферма  утверждал, что каждое неотрицательное целое
число является суммой m + 2 многоугольных чисел порядка m + 2. При m = 2
Лагранж доказал, что каждое неотрицательное целое число представляет собой
сумму четырех квадратов p2 (k) = k2. Для m =1, Гаусс  доказал, что каждое неотрицательное целое
число является суммой трех треугольных чисел, или, что эквивалентно тому, что
каждое натуральное число n  3 (mod8) — сумма трех нечетных квадратов.

Коши доказал утверждение Ферма
для всех m  3, и Лежандр  уточнил и расширил этот результат. Для m> 3
и n 120m,  Пепин  опубликовал таблицы явных представлений n в
виде суммы m + 2 многоугольных числа порядка m + 2, не более четырех из которых
отличны от 0 или 1.

Диксон  подготовил аналогичные таблицы. Палл получил
важные связанные результаты о суммах значений квадратичного многочлена.

Успенский и Хизлет и Вейль  написал, что нет короткого и простого
доказательства теоремы Коши о многоугольных числах.

В результате проведенного
исследования предлагается исследование системы аддитивных задач, где
необходимо:

1) получили формулы,
позволяющие решить диофантово уравнение проблемы Варинга в двоичной и
десятичной системах счисления;

2) показать чему равно количество
решений, при n = 3,4,5;

3) определили пути для
нахождения формулы.

Представлены некоторые
численные решения данной задачи.

В результате написания магистерской
диссертации были выполнены следующие задачи:

1. На
основе исследования справочной, учебной, научно-популярной и научной
литературы, имеющихся теоретических исследований отобран и систематизирован
материал, связанный с классическими проблемами аддитивной теории чисел;

2. Проведен
детальный анализ классических проблем аддитивной теории чисел, с исторической
справкой, формулировкой основных результатов, большим числом конкретных
примеров;

3. Представлено
доказательство ряда частных случаев теоремы Ферма о многоугольных числах (в том
числе для k=3, 4, 5, 6) со всеми необходимыми выкладками, проиллюстрировать
основные этапы доказательства примерами.

4. Отобрано
и решено избранные аддитивные задачи теории чисел, связанные со школьным курсом
математики; разработано собственную систему аддитивных задач, пригодную для
использования в рамках профильного обучения.

Фрагмент текста работы:

1 Доказательство теоремы о
многоугольных числах

1.1 Принципы
образования многоугольных чисел В рамках
данного раздела магистерской диссертации будет рассматриваться доказательство
теоремы о многоугольных числах.

Сперва
рассмотрим понятие многоугольных чисел.

На
приведенных ниже диаграммах показано геометрическое построение многоугольных
чисел (рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3). Показано образование первых шести
членов треугольных чисел, квадратных чисел, чисел пятиугольника. Рисунок
1 – Образование треугольных чисел Рисунок
2 – Образование квадратных чисел Рисунок
3 – Образование пятиугольных чисел Можно
расширить данные примеры до других номеров многоугольников. Для
треугольных чисел первый член равен 1. Второе треугольное число — это
количество точек, содержащихся в следующем большем треугольнике, то есть 3.
Третье треугольное число — 6 и т. д.

Легко
видеть, что n-й треугольное число, обозначаемое ∆n ,
задается следующим выражением: (1.1)

В
таблице 1 представим первые десять значений многоугольных чисел.

Таблица
1

Первые
десять значений многоугольных чисел n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m = 3 (Треугольник) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 m = 4 (Квадрат) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 m = 5 (Пятиугольник) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 m = 6 (Шестиугольник) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 m = 7 (Семиугольник) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 m = 8 (Восьмиугольник) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 Пусть P
(m, n) будет n-м значением
номера m-стороннего многоугольника.

Например, P (4, 3) — это
третье квадратное число, то есть 9, P (5, 6) — шестое число
пятиугольника, или 51. n-й квадратный
номер определяется как: P
(4, n) = 1 + 3 +… + (2n — 1). (1.2)

Мы можем вычислить эту сумму, просто умножив количество
членов на их среднее значение.

Следовательно, получаем: Расширяя этот метод, мы
можем получить: P
(m, n) = 1 + (m — 1) +…. + [(m — 2) n -(m — 3)]

Умножая количество на
среднее значение, получаем:

(1.3)

Из таблицы можем увидеть, что многоугольные числа в одном
столбце имеют одинаковую разницу, и эта разница всегда является треугольным
числом. Например, пятое пятиугольное число (35) имеет на 10 точек больше,
чем пятое квадратное число (25), и на 10 точек меньше, чем пятое шестиугольное
число (45), а разница 10 — это просто четвертое треугольное число.

Но это также означает, что любое многоугольное число может
быть получено из треугольных чисел.

Таким образом, многоугольные числа — это неотрицательные
целые числа, построенные и представленные геометрическими расположением
равноотстоящих точек, образующих правильные многоугольники.

Эти числа изначально изучались Пифагором, их долгая история
датируется 570 г. до н.э., и часто упоминается греческими математиками. В
античный период многоугольные числа описывались единицами, которые выражаются
точками или камешками, образующими геометрические формы.

Многоугольные числа широко применяются и связаны с различными
математическими понятиями.