Курсовая теория на тему Уравнение Риккати.

Содержание:

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 2
1 Общая характеристика дифференциальных уравнений 3
2 Определение уравнений Риккати и его свойства 7
3 Численное решение для уравнения Риккати 12
4 Интегрируемость уравнений Риккати в конечном виде. Пример 16
Заключение 19
Список использованных источников 20

Введение:

ВВЕДЕНИЕ
С тех пор как человечество начало задумываться об устройстве мира, в котором они живут, прошло много времени. Попытки объяснить всё происходящее поначалу носили словесный характер. Позже началось развитие математики, и для описания процессов, происходящих в мире, стали использоваться формулы. Затем бурное развитие получили такие разделы математики, как: исследование функций, интегральное и дифференциальное исчисления. Появились дифференциальные уравнения. Они то и стали мощным инструментом для описания физических процессов на Земле.
С момента появления дифференциальных уравнений прошло много лет. За этот период времени возникло большое количество способов их решения. В данной курсовой работе будут рассмотрены уравнения Риккати, которые находят применение в вопросах связанных с теорией теплопроводности, диффузией и динамикой процессов в сплошных средах. Также в курсовой работе будут рассмотрены некоторые свойства уравнений Риккати и их интегрируемость в конечном виде.
Цель исследования – изучить уравнения Риккати.
 

Заключение:

Уравнение Риккати — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
dx/dt=a(t)x2+b(t)x+c(t).
Уравнением Риккати называют также многомерный аналог , то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными x1,…,xn, правые части которых являются многочленами второй степени от переменных x1,…,xn с зависящими от t коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии, теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем, вариационном исчислении, теории конформных отображений, квантовой теории поля.
Частный случай такого уравнения впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай-старший и Николай-младший). Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах.

Фрагмент текста работы:

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде [6]

или .

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например [7]:
А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;
Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;
В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.
Например, пусть дано дифференциальной уравнение .
Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.
Действительно, дифференцируя уравнение y=c1sinx+c2cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .
Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.
Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько.
В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка
отвечает семейство решений, содержащих n параметров.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c1, c2, …, cn), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c1, c2, …, cn, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.
Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, …, cn)=0.
Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.
Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1, c2 , …, cn. Обычно значения этих произвольных постоянных c1, c2 , …, cn определяются заданием начальных условий: y(x0)=y0, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений [4]

,
,
,
,
решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих постоянных.
Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0).
Геометрическая интерпретация.
Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида .
В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M.
Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей [3].
Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление , где  — угол наклона касательной к оси x. Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество , выполняющееся в точках