Курсовая теория на тему Треугольники. Метрические соотношения в треугольнике

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ГЛАВНЫЕ ТЕОРЕМЫ, ПРИМЕНИМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 4
1.1 Теорема синусов 4
1.2 Теорема косинусов 6
1.3 Теорема Стюарта, Менелая и Чеви 6
2. БИССЕКТРИСА, МЕДИАНА И ВЫСОТА, ИХ СВОЙСТВА И ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 11
2.1 Биссектриса треугольника, ее свойства и применение 11
2.2 Медиана треугольника, ее свойства и применение 13
2.3 Высота треугольника, ее свойства и применение. Ортоцентр треугольника 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 18

Введение:

Актуальность темы. Известно, что треугольник является центральной фигурой в геометрии. Почти каждая геометрическая задача решается на основе свойств треугольника, доказательство всех важных теорем так или иначе связано с использованием его свойств.
Знание свойств треугольника помогает решать физические задачи, требующие геометрическую интерпретацию, геометрические задачи на вычисление элементов, нахождение площадей и построение плоских фигур, и некоторые виды алгебраических неравенств.
В представленной работе рассмотрен материал, который может быть использован как на уроках геометрии, так и во внеклассной работе, при подготовке к математическим олимпиадам, на факультативных занятиях. Что и определяет актуальность курсовой работы и ее тему: «Треугольники. Метрические соотношения в треугольнике».
Цель исследования: изучить сущность, основные положения теории о метрических соотношениях в треугольнике.
Объект исследования: геометрия.
Предмет исследования: метрические соотношения в треугольнике.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной теме;
2. Исследовать и изучить основные метрические соотношения в треугольнике;
3. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников. Общий объем составляет 18 страниц.

Заключение:

Таким образом, на основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Метрические соотношения в треугольнике «занимают важное место в школьном курсе геометрии, предполагают знание и использование теоремы синусов, косинусов, Стюарта, свойства медиан, высот, биссектрис и тому подобное. Без прочных знаний этого материала невозможно успешное дальнейшее изучение математики и творческий подход к решению математических задач.
2. Есть несколько важных теорем, которые дают возможность решать множество математических задач. К ним относятся.
Теорема 1 (синусов). Теорема синусов – это теорема, которая показывает связь между сторонами треугольника и синусами его углов.
Для любого треугольника ΔАВС с радиусом описанной окружности R выполняются соотношения:
,
где a, b, c стороны треугольника, которые лежат напротив углов с вершинами A, B, C, R – это радиус окружности, описанной около треугольника.
Теорема 2. Для любого треугольника ΔABC, где выполняются равенства:
; ; .
Теорема 3 (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
,
,
.
Теорема 4 (Стюарта). Если a, b, c – стороны треугольника ΔABC и точка D делит сторону BC на отрезки и (рис. 4), то получим:
.
Теорема М. Стюарта дает возможность выразить медиану и биссектрису треугольника через его стороны.
Теорема 5. Расстояние между центром описанной окружности с радиусом R, и центром вписанной окружности с радиусом r (рис. 5) равно: (формула Эйлера).
Теорема 6 (Менелая). Пусть задано треугольник ΔABC и три точки , , на прямых BC, AC и AB соответственно. Точки , , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:
.
Теорема 7 (Чеви для треугольника). Пусть задано треугольник ΔABC и три прямые, проходящие через его вершины. Прямая, проходящая через вершину A, пересекает прямую BC в точке . Прямая, проходящая через вершину B, пересекает прямую AC в точке . Прямая, проходящая через точку C пересекает AB в точке . Эти прямые проходят через одну точку или параллельные тогда и только тогда, когда:

Теорема 8 (Чеви в форме синусов). Пусть на сторонах BC, CA и AB треугольника ΔABC взяты точки , , . Прямые , , проходят через одну точку или параллельные тогда и только тогда, когда:
.
Условие теоремы 8 равносильно условию теоремы 7 (Чеви).
3. Не менее важны при решении задач на метрические отношения в треугольнике и такие базовые элементы треугольника как: биссектриса, медиана и высота.

Фрагмент текста работы:

1. ГЛАВНЫЕ ТЕОРЕМЫ, ПРИМЕНИМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

1.1 Теорема синусов

Теоремы синусов, косинусов и их последствия имеют широкое применение в геометрии, является обязательными для изучения в общеобразовательной школе. Теоремы Стюарта, Менелая и Чеви изучаются в классах с углубленным изучением математики, их можно предложить для изучения способным ученикам на внеклассных занятиях по математике.
Теорема 1 (синусов). Теорема синусов – это теорема, которая показывает связь между сторонами треугольника и синусами его углов .

Рисунок 1 – Теорема синусов: а), б)
Рассмотрим треугольник ΔАВС, опишем вокруг него окружность с центром в точке O и радиусом R. Проведем диаметр CJ и хорду BJ (рис 1, а). Угол прямой, потому что опирается на диаметр, тогда:
. (1)
Когда треугольник ΔАВС – тупоугольный (рис 1, б), то , следовательно, равенство выполняется.
Проведя аналогичные рассуждения над другими углами, и обобщив результаты, мы получим обобщенную теорему синусов.
Для любого треугольника ΔАВС с радиусом описанной окружности R выполняются соотношения:
, (2)
где a, b, c стороны треугольника, которые лежат напротив углов с вершинами A, B, C, R – это радиус окружности, описанной около треугольника.
Коротко теорема дается в таком виде: Стороны треугольника пропорциональны синусов противоположных углов:
, (3)
Следствия с теоремы 1:
1. В любом треугольнике отношение стороны к синусу противоположного угла равно диаметру окружности, описанной около этого треугольника.
2. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.
Теорема 2. Для любого треугольника ΔABC, где выполняются равенства :
; ; (4)

Рисунок 2
Доказательство. Пусть в ΔABC – это ортогональная проекция точки C на прямую AB (рис. 2). Есть два отрезка и , сумма которых равна AB. С прямоугольных треугольников и соответственно можно записать: