Курсовая теория на тему Решение алгебраических уравнений в радикалах (история вопроса)

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. ИСТОРИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В СТРАНАХ ДРЕВНЕГО МИРА 5
1.1 Приемы решения уравнений первой и второй степени, полученные на древнем Востоке и Греции 5
1.2 Достижения арабских математиков в области алгебраических уравнений 12
Глава 2. ИСТОРИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ 16
2.1 История решения уравнений третьей и четвертой степени выдающихся математиков (дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари) 16
2.2 Результаты Лагранжа, теоремы Руффини, Абеля и Галуа 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 31
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 33

Введение:

Актуальность темы. Математика – это одна из древнейших наук. Она зародилась на заре человеческой цивилизации из потребностей практики. Роль математики в различных областях человеческой деятельности с течением времени менялась. Причем существеннее всего она зависела от двух факторов: уровня развития математического аппарата и степени зрелости знаний об том или другом исследуемом объекте, то есть возможности описать самые существенные его свойства на языке математических понятий или, как теперь принято говорить, возможности построить математическую модель этого объекта.
Одним из основных видов математических моделей, рассматриваемых в курсе математики, является уравнение. Его изучение начинается с самого простого случая уравнения первой степени с одним неизвестным, а затем развивается во многих направлениях, где одно из самых важных направлений решение уравнений второй, третьей степени и выше.
Но для того, чтобы перейти к углубленному рассмотрению одного из этих направлений в теории решения уравнений, необходимо рассмотреть основные этапы ее развития.
История уравнений берет своё начало примерно 2000 лет до новой эры, подтверждением этому являются хорошо сохранившиеся вавилонские глиняные таблички, покрытые клинописными текстами.
Уравнения в Древнем Мире были необходимы для вычислений простых и сложных процентов, для обмена денег и расчетов. Также важным аспектом использования уравнений в повседневной жизни уравнений стали задачи, которые возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и т.д.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения уравнений с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Со временем ученые вывели общие формулы для получения решений уравнений первой и второй степени. Кубические же уравнения появились позже и впервые были исследованы в Древней Греции известным ученым Архимедом.
Получение решения уравнения четвёртой степени было опубликовано в 1545 году вместе с решением кубического уравнения в книге «Великое искусство» и приписывается оно Людовико Феррари.
Далее в истории развития уравнений встал вопрос о том, а можно ли найти общую формулу для уравнений в радикалах 5 степени. Это пытались ответить такие математики, как: Лагранж, Абель, Руффини и Галуа и т.д.
История развития теории решении алгебраических уравнений интересная и необычайно богатая на математические достижения. Все это и определяет актуальность и тему курсовой работы: «Решение алгебраических уравнений в радикалах».
Цель работы заключается в рассмотрении развития теории решения алгебраических уравнений с радикалами, а также ознакомление с ее историей.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Исследовать и проанализировать научную литературу по данной теме;
2. Изучить исторические аспекты теории решения алгебраических уравнений с радикалами;
3. Подобрать примеры иллюстрации исторических фактов и сделать соответствующие выводы.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 33 страницы.

Заключение:

На основе проведенного в работе исследования можно сделать следующие выводы:
1. Греческие математики строили математику на основе геометрии. В результате было построено геометрическую алгебру, характерной чертой которой было то, что все ее выводы основывались на геометрических образах. Так, формулы сокращенного умножения приходились с помощью геометрических построений. Возможно, что в школе Пифагора квадратные уравнения решались геометрическим путем.
2. Основным достижением математиков древнего Востока и других стран ислама было создание алгебраической науки, конструктивный дух которой мусульмане передали первым ученым возрожденной Европы.
3. Первую попытку систематизации вопросов, касающихся решения уравнений, мы находим у Диофанта (III ст. до н. э.). В своем сочинении «Арифметика» он излагает теорию уравнений первой степени, решает квадратные уравнения, но большая его часть посвящена так называемым неопределенным уравнениям и их системам, то есть таким, в которых количество уравнений больше количества неизвестных.
4. В трактате Омара Хайяма «О доказательстве задач алгебры и ал-джебри» находим более строгую классификацию всех уравнений до третьей степени включительно. Более того, упомянутый трактат – это первое в истории науки произведение, где алгебра рассматривается как самостоятельная математическая дисциплина, имеющая общетеоретическое значение.
5. Нынешнюю во многом символьную алгебру арабы сформировали как методику сведения конкретных прикладных задач в одном или нескольких уравнений различной степени и нахождению одного или двух корней с помощью конкретных геометрических построений. Декарт, создавая свою аналитическую геометрию, в чем-то опирался на алгебраические работы арабов, которые вырастали из синтетической геометрии греков.
Основным достижением математиков древнего Востока и других стран ислама было создание алгебраической науки, конструктивный дух которой мусульмане передали первым ученым возрожденной Европы.
6. В XVIII-XIX ст. алгебра стала, прежде всего, стала алгеброй уравнений. Основной ее задачей стало решение уравнений с одним неизвестным. После того, как усилиями Кардано и Феррари были найдены способы решения уравнений третьей на четвертой степени, на протяжении почти трех веков делались попытки найти формулы для нахождения корней уравнения более высоких степеней через их коэффициенты. (Параллельно с построением методов точного решения уравнений разрабатывались приближенные методы, и довольно успешные).
Безуспешные попытки закончились тем, что в 1824 г. Н. Абель доказал нерешаемость уравнений выше четвертой степени в общем случае, а в 1830 г. Е. Галуа установил критерии решения алгебраических уравнений с радикалами.
Кроме того, математики, которые увидели возможность преодолевать трудности, обрели уверенность в своих силах, что помогло в дальнейшем развитии математики, как науки.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. ИСТОРИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В СТРАНАХ ДРЕВНЕГО МИРА

1.1 Приемы решения уравнений первой и второй степени, полученные на древнем Востоке и Греции

Решения простейших уравнений первой и второй степени занимались еще вавилонские, египетские, а затем древнегреческие математики. Конечно, способы решения, обозначения и терминология были другими. В частности, все промежуточные вычисления нужно было держать в памяти, а действия с числами выражать словами.
В постоянном столетнем развитии математики произошел в XVII веке огромный скачок, который привел к возникновению новой математики, а также стал рабочим инструментом научного естествознания, основы которого в то время закладывались [7].
Развитие новых методов решения алгебраических уравнений стало возможным благодаря тому, что новая математика была построена на базе алгебры и пользовалась только единственным символическим языком. Это создало предпосылки для построения абстрактных понятий математики.
Проникновение алгебры в математику и смежные науки позволило разработать алгоритмы, примененные к задачам отдельных классов, системы с характерными правилами преобразований и специфической символикой. Например, открытия алгоритма дифференциального и интегрального вычислений Ньютона (1643-1727) и Лейбницем (1646-1716) в конце XVII в. предшествовали значительные достижения в алгебре: решение уравнений первой и второй степени, введение в алгебру единой алгебраической символики [7].
Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в древнем Египте и древнем Вавилоне. Вавилонские переписчики умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-ой степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени, например .
В древнейших египетских источниках – папирусе Райда и Московском папирусе – можно найти задачи на «аха» (неизвестная величина, подлежащая определению), соответствующие современным линейным уравнением, а также квадратным уравнением вида .
В вавилонских клинописных текстах имеется большое количество задач, которые решаются с помощью уравнений и систем первой и второй степени, которые записаны без символов, но в специфической терминологии. В этих текстах решаются задачи, приводящие к трехчленным квадратным уравнениям вида [9]:
,
. (1)
В задачах на «аха» можно найти зачатки алгебры как науки, которая изучает уравнение [9].
В отличии от вавилонян, которые за два тысячелетия до нашей эпохи умели числовым путем решать задачи связанные с уравнениями первой и второй степени, греки оперировали только отрезками, плоскостями, объемами, но только не числами. Это выразилось в трудах:
— Евклида (365 – пр. 300 г. до н. э.);
— Архимеда (пр. 287 – 212 г. до н. э.);
— Аполлония (пр. 260 – 212 г. к н. э.).
Алгебра данных ученых строилась на основе геометрии [9].
Развитию математики в древней Греции характерно преобладание геометрии, которая здесь впервые превратилась в стройную логическую систему. В качестве примера геометрической алгебры греков, можно рассмотреть уравнение [3]:
. (2)
Математики античности решали эту задачу с помощью построения. Они строили искомый отрезок, как это показано на рис.1.