Курсовая теория на тему Производная по направлению и градиент

Содержание:

Введение……………………………………………………………………………………. 3

Теоретическая часть……………………………………………………………………. 4

Дифференцируемость функции нескольких переменных………………. 4

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности………… 5

Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных.………………………………………………………………………………………………………. 5

Производная высших порядков…………………………………………………. 7

Экстремум функции нескольких переменных……………………………… 9

Практическая часть……………………………………………………………………. 13

Общая схема методов спуска…………………………………………………… 13

Градиентные методы………………………………………………………………. 14

Минимизация функции градиентным методом………………………. 14

Метод наискорейшего спуска………………………………………………. 16

Метод Ньютона………………………………………………………………….. 17

Метод проекции градиента………………………………………………….. 18

Заключение………………………………………………………………………………. 20

Список использованных источников……………………………………………. 21

Введение:

Дифференциальное исчисление считается одним из наиболее
важных и сложных разделов высшей математики. Важность этого раздела заключается
в том, что практически все процессы в нашей жизни можно описать с помощью
систем дифференциальных уравнений. Одними из основополагающих элементов
дифференциального исчисления являются понятия производной и градиента. Поэтому целью данной работы является
рассмотрение понятий градиента, производной по направлению и применение их для
решения конкретных задач.

Актуальность
работы заключается в том, что современный специалист обязан хорошо
ориентироваться дифференциального исчисления, уметь использовать информацию,
заложенную в таких величинах, как производная и градиент.

Объектом
исследования являются методы дифференциального исчисления.

Предметом
исследования являются градиент и производная по направлению.

Задачами
исследования являются:

1.     Определение
понятия дифференцируемой функции;

2.     Определение
понятия градиента;

3.     Определение
понятия производной по направлению;

4.     Решение
практических задач с использованием градиента и производной по направлению.

Заключение:

Данная работа была посвящена исследованию вопросов,
связанных с дифференцированием функций и использованию градиента и его проекции
на некоторое направление при решении практических задач.

В теоретической части изложены основные положения и теоремы
выявляющие свойства функций, их производных, понятия градиента и экстремума.
Приведены примеры, поясняющие теоретические выкладки.

В практической части решены конкретные задачи по минимизации
функции с использованием градиента и его проекций.

Задачи, поставленные в начале исследования выполнены.

Фрагмент текста работы:

Теоретическая часть

Дифференцируемость функции нескольких переменных

Если в точке  аргументам функции  дать некоторые
приращения  и  то получим полное
приращение функции в точке , которое вычисляется по формуле

.

Пример. Пусть , , , . Тогда полным приращением функции в заданной точке будет

Определение. Полным дифференциалом функции в точке  назовем выражение:

,

где  и  – постоянные, а  и  бесконечно малые при , или иначе:

Если функция в некоторой точке
имеет полный дифференциал, то она является дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Пусть функция   и  ее 
частные производные  и  непрерывны в некоторой
окрестности точки . Тогда функция  дифференцируема в т.  и ее полный
дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

                                 .                                (1)

С помощью формулы (1) можно
вычислять приближенные вычисления функции. Для этого надо перейти к конечным
приращениям:

++.             (2)

Уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности

Касательной плоскостью к
поверхности в её точке  называется
плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на
поверхности через эту точку.

Если через данную точку провести
перпендикуляр к касательной плоскости то получим нормаль к поверхности в данной
точке, который обозначается  или .

Для функции двух переменных  перпендикулярен
касательной к линии равного уровня и его уравнение можно записать

А) для функции в неявном виде:

 (3)

Б) для функции в явном виде:

  (4)

Производная по направлению и градиент функции нескольких
переменных.

Рассмотрим скорость изменения
функции трех переменных при перемещении из точки  в направлении
единичного вектора , определяемого своими координатами
– направляющими косинусами: . Для этого рассмотрим прямую , проходящую через точку  с направляющим
вектором . Ее параметрические уравнения
имеют вид