Курсовая теория на тему Принцип сжимающих отображений и его применения [КФ, гл II, пар 4, части 1,2,3].

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Принцип сжимающих отображений 5
Глава 2. Применения принципа сжимающих отображений для решения линейных интегральных уравнений 2-го рода 8
2.1. Уравнения Фредгольма 8
2.2. Уравнения Вольтерра 13
Заключение 23
Список литературы 25

Введение:

В тех случаях, когда научную и техническую проблему можно сформулировать математически, наиболее вероятно, что задача сведется к одному или нескольким дифференциальным уравнениям.
В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные (или специальные) функции. Между тем весьма часто при решении практических задач эти методы оказываются либо совсем беспомощными, либо их решение связывается с недопустимыми затратами усилий и времени.
По этой причине для решения задач практики созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений. Весьма условно, в зависимости от формы представления решения, эти методы подразделяются на три основные группы.
Аналитические методы, применение которых дает решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.
Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика.
Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы.
В данном дипломном проекте рассматриваются относящиеся к указанным группам некоторые избранные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Что же касается дифференциальных уравнений n-го порядка, то их можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений основываются на соответствующих методах решения одного уравнения. Некоторые из этих методов реализуем с помощью ЭВМ.
Цель исследования – рассмотреть принцип сжимающих отображений.
Задачи:
— Принцип сжимающих отображений.
— Уравнения Фредгольма.
— Уравнения Вольтерра.
Структура работы представлена введением, двумя главами, заключением и списком литературы.

Заключение:

При изучении различных задач теории нелинейных колебаний одно из первых мест занимает исследование установившихся процессов, как-то: стационарных (то есть не меняющихся со временем), периодических, условно периодических, почти периодических и т.п. Диссертация посвящена периодическим решениям (вынужденным колебаниям) следующих нелинейных уравнений — обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциально — разностных уравнений и уравнений теории автоматического регулирования. Подчеркнем, что речь идет о периодических решениях с заранее известным периодом (периодом правой части).
Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений могут быть подвергнуты изучению с помощью различных методов — это и метод точечных отображений Пуанкаре — Андронова, и метод интегральных уравнений, метод направляющих функций Красносельского и Перова и вариационные методы и т.д. Диссертация всецело посвящена применению метода интегральных уравнений для исследования периодических решений указанных выше типов нелинейных дифференциальных уравнений.
Метод интегральных уравнений обстоятельно изучен в монографии Е.Н. Розеивассера «Колебания нелинейных систем». имеющих подзаголовок «Метод интегральных уравнений». Интересно отметить, что метод интегральных уравнений с успехом был применен к изучению почти периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, что было продемонстрировано в монографии М.А. Красносельского, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова «Нелинейные почти периодические колебания». Для того, чтобы свести исследуемую проблему к системе нелинейных интегральных уравнений систематически используется периодическая функция Грина, которая в случае уравнений теории автоматического регулирования принимает облик амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). После того, как исходная задача сведена к изучению системы нелинейных интегральных уравнений, к ней для установления условий существования и его единственности (или только существования) применяется обобщенный принцип сжимающих отображений (или принцип Шаудера).
Обобщенный принцип сжимающих отображений ведет свое начало с работы А.И. Перова, опубликованный в 1964 года, в которой впервые появились условия, названные в данной диссертации критерием Мецлера — Котеляиского. Этот принцип дает необходимое и достаточные условия того, что спектральный радиус матрицы с неотрицательными элементами меньше единицы. Этот критерий внешне весьма напоминает классический критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы и критерий Рауса — Гурвица асимптотической устойчивости алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами.