Курсовая теория на тему Преобразование Фурье. Его свойства

Содержание:

Введение. 3

Преобразование Фурье. 4

Свойства преобразования Фурье. 12

Примеры преобразований Фурье. 15

Заключение. 22

Список литературы.. 23

Введение:

Введение

Преобразование Фурье было разработано французским математиком
Жаном Батистом Жозеф Фурье в 1822 году.

Преобразование Фурье стало фундаментальным методом в
процедурах обработки сигналов, так как эхо-сигнал радара содержит разнообразную
информацию в форме сигнала. Эта информация обрабатывается преобразованием Фурье
в формат данных, который может использоваться компьютерной обработкой сигналов.

Преобразование Фурье – это форма анализа, в которой форма
сигнала разбивается на его синусоидальные и косинусоидальные компоненты
(базовые функции), это означает, что форма сигнала описывается как сумма
синусоидальных или косинусоидальных волн разной частоты, фазы и амплитуды.

Преобразование Фурье стало мощным инструментом, используемым
в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как
средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы,
происходящие под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В
других случаях он позволяет изолировать регулярные компоненты в сложном
вибрационном сигнале, так что можно правильно интерпретировать
экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.

Объект исследования – преобразование Фурье.

Предмет исследования – свойства преобразования Фурье.

Цель работы – изучение преобразования Фурье, его свойств.

Задачи работы:

1. Изучить преобразование Фурье .

2. Рассмотреть свойства преобразования Фурье.

3. Проанализировать примеры преобразований Фурье.

Методы исследования: анализ методических и научных
литературных источников, синтез, систематизация, обобщение, конкретизация

Заключение:

Преобразование Фурье важно в математике,
инженерии и физических науках. Преобразование Фурье стало мощным инструментом,
используемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно
использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические
процессы, происходящие под воздействием электрической, тепловой или световой
энергии. В других случаях он позволяет изолировать регулярные компоненты в
сложном вибрационном сигнале, так что можно правильно интерпретировать
экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.

Преобразование Фурье, названное в
честь французского математика Жозефа Фурье, представляет собой математическую
процедуру, которая позволяет нам определять частотный состав функции. Для
инженеров-электриков преобразование Фурье обычно применяется к функциям
времени, которые мы называем сигналами.

Преобразование Фурье – это математическая основа, которая
соединяет временные либо пространственные сигналы (или же некоторые модели
данного сигнала) с их представлением в частотной области. Особую роль в
спектральном анализе представляют методы статистики, так как сигналы, чаще
всего, обладают случайным характером либо зашумлены в процессе распространения
либо измерения. Примером использования преобразований может выступать
передача данных в цифровом формате по аналоговой линии телефонной сети
(модему). Для передачи данных в цифровом формате, они сначала изменяются в
некоторый набор частот и передаются с использованием линий передач, а после
этого, на приёмной стороне выполняется обратное преобразование, и
восстанавливаются исходные данные. Были рассмотрены некоторые фундаментальные
понятия из математического анализа, необходимые для понимания работы
преобразований Фурье.

Фрагмент текста работы:

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье – это инструмент, который разбивает
форму волны (функцию или сигнал) на альтернативное представление,
характеризуемое синусом и косинусом. Преобразование Фурье показывает, что любую
форму сигнала можно переписать как сумму синусоидальных функций [2].

Практически все в мире можно описать с помощью формы волны —
функции времени, пространства или какой-либо другой переменной. Например,
звуковые волны, электромагнитные поля, высота холма в зависимости от
местоположения. Преобразование Фурье дает нам уникальный и эффективный способ
просмотра этих форм волны.

Преобразование Фурье – это операция, которая объединяет
функцию действительной переменной с иной функцией действительной переменной. Данная
новая функция характеризует коэффициенты («амплитуды») в процессе разложения начальной
функции на простые составляющие – гармонические колебания с различными
частотами (аналогично как музыкальные аккорду могут быть выражены в качестве
суммы музыкальных звуков, которые их образуют) [7].

Преобразование Фурье функции  вещественной переменной – это интегральное
преобразование и оно может задаваться такой формулой [1]: Понятие 1. Следующая функция
называется преобразованием Фурье функции . (1)

Интеграл в данном случае воспринимается
в качестве основного значения и считается, что он существует. В том случае когда  – абсолютно интегрируемая на ℝ функция, то, потому что  при , для каждой
данной функции имеет место преобразование Фурье (1), при том, что интеграл (1)
сходится абсолютно и равномерно по  на всей прямой  [3].

Понятие 2. Если  является преобразованием Фурье функции , то
сопоставляемый 𝑓
интеграл, воспринимаемый в смысле основного значения, может называться
интегралом Фурье функции 𝑓 [5]. Понятие 3. Понимаемые в смысле основного
значения следующие интегралы: Называются соответственно косинус-
(3) и синус- (4) преобразованиями Фурье функции 𝑓 [9].

Предполагая, что: Можем получить отчасти уже знакомое
по рядам Фурье соотношение: В соответствии с формулами (3) и
(4) получаем: Формулы (5), (6) доказывают, что
преобразование Фурье могут определяться на всей прямой , если
они установлены только для неотрицательного значения аргумента.