Курсовая теория на тему Правильные многограники

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ПОНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТЕЛА, МНОГОГРАННИКА И ЕГО ЭЛЕМЕНТОВ 5
1.1. Геометрическое тело и его поверхность 5
1.2. Многогранная поверхность 7
1.3. Многогранник и его элементы 8
2. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ИХ РАЗНОВИДНОСТЬ 10
2.1. Правильные выпуклые многогранники (тела Платона) 10
2.2. Правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо) 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 20

Введение:

Актуальность темы. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например в алгебре, теории чисел, прикладной математики – линейном программировании, теории оптимального управления.
Правильные многогранники стали называться Платоновыми телами, так как древнегреческий ученый, философ-идеалист Платон изложил в своих трудах учение пифагорейцев о правильных многогранниках.
Кроме полуправильных многогранников (Архимедовых тел), из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые звездчатые правильные многогранники. Их всего четыре. Первые были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти в течение двухсот лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому в работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники. Также ученый поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.Ответ на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансоном.
Правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней. Также показано то, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр). Коши установил, что существует всего 4 правильных звездчатых тела, которые не являются соединениями Платоновых и звездчатых тел, названы телами Кеплера-Пуансо: все 3 звездчатых формы додекаэдра и одна из звездчатых форм икосаэдра. Остальные правильные звездчатые многогранники являются либо соединениями Платоновых тел, либо соединениями тел Кеплера-Пуансо.
Многогранники окружают человека повсюду: в природе, в архитектуре, в быту. Они веками манят человека своими правильными формами и вдохновляют на творческие поиски. Использовать многогранники в архитектуре люди стали еще до нашей эры. С развитием строительного мастерства, в мире появлялись новые шедевры, которые имели за основу сложные геометрические формы.
Проблема существования более сложных правильных многогранников формулируется следующим образом: можно ли каким-то образом получить из других многоугольников правильные невыпуклые и выпуклые многогранники? Эта проблема для разных классов фигур решается по-разному. Это и определило актуальность и тему курсовой работы: «Правильные многогранники».
Цель исследования: изучить сущность, основные положения теории правильных многогранников.
Объект исследования: геометрия.
Предмет исследования: правильные многогранники.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной теме;
2. Исследовать и изучить правильные многогранники;
3. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников. Общий объем составляет 20 страниц.

Заключение:

Таким образом, на основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Правильный многогранник или платоновое тело – это выпуклый многогранник, который состоит из одинаковых правильных многоугольников, и имеющий пространственную симметрию.
Многогранник называется правильным, если:
— Он выпуклый.
— Все его грани являются равными правильными многоугольниками.
— В каждой его вершине сходится одинаковое количество ребер.
Есть теорема, которая доказывает существование лишь пяти правильных многогранника (теорема 3).
Теорема 3. (Существование правильных многогранников) Разных видов правильных многогранников существует не более пяти.
К ним относятся:
— Тетраэдр.
— Октаэдр.
— Икосаэдр.
— Гексаэдр или куб.
— Додекаэдр.
В процессе работы с правильными многогранниками важными были такие теоремы:
А) Теорема 1 (Л. Эйлера). В любого простого многогранника сумма числа граней и вершин на два больше числа его ребер:
,
где – вершины, – ребра и – грани.
Б) Теорема 3. (Существование правильных многогранников).
Данные теоремы можно считать непременно важными в теории правильных многогранников.
2. В случае, когда продолжим ребра (или грани) правильным многогранникам, то они трансформируются в так называемые правильные звёздчатые многогранники. То есть можно говорить о том, что они получаются из выпуклых правильных многогранников. Но не все простые правильные многогранники могут стать звездчатыми. Тетраэдр, куб и октаэдр не дают звездчатых форм. Чтобы отличать именно эти многогранники, от множества других, их называют телами Кеплера-Пуансо.
К ним относятся:
— малый звездчатый додекаэдр;
— большой звездчатый додекаэдр;
— большой додекаэдр;
— большой икосаэдр.
3. На основе полученных результатов исследования можно сказать, что поставленные в начале цели и задачи, выполненные.

Фрагмент текста работы:

1. ПОНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТЕЛА, МНОГОГРАННИКА И ЕГО ЭЛЕМЕНТОВ

1.1. Геометрическое тело и его поверхность

Определение 1. Фигуры, которые изучает стереометрия, называются геометрическими телами .
Наглядно геометрическое тело представляется в виде части пространства, занятого физическим телом и ограниченного поверхностью.
Определение 2. Геометрическим телом называют часть пространства, ограниченного совокупностью поверхностей и плоскостей .
Необходимым условием существования геометрического тела является отсутствие разрывов между образующими тела элементами. Считается, что геометрические тела заполнены некоторым материалом, поэтому, при условных сечениях их принято штриховать, как штрихуют металл – тонкими сплошными линиями с наклоном влево или вправо под углом 45º к горизонту.
Среди геометрических тел многогранники, ограниченные только плоскими многоугольниками, а так же большое количество других видов, включающих как поверхности, так и плоскости в различных сочетаниях. Есть поверхности, которые без каких-либо дополнений относятся к геометрическим телам, потому что они ограничивают некоторый объем пространства. Самыми известными являются сфера, тор, эллипсоид вращения и т. д.
Типичными представителями многогранников, в основе которых лежат пирамидальные и призматические поверхности, являются пирамиды и призмы.
Определение 3. Пирамида – многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани – треугольники с общей вершиной .
Определение 4. Призма – многогранник, у которого основания – два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани – параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскостям основания, то ее называют прямой, если нет, то по наклонной .
Плоскости, создают многогранник, пересекаясь между собой, дают ребра и вершины многогранника. Совокупность ребер и вершин принято называть сеткой многогранника . Изображение многогранника на чертеже сводится к изображению его сетки.
Геометрические тела, включающие поверхности, изображаются на чертеже крайними (нарисовыми) линиями. Если это поверхность вращения, то на ее изображениях обязательное присутствие проекций осей вращения.