Курсовая теория на тему Потенциалы простого и двойного слоя

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ.. 6

1.1. Потенциалы слоя. 6

1.2. Операторы свертки Меллина. 7

1.3. Свертка и преобразование
Меллина. 10

2. ОПЕРАТОР ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ
K НА ПРЯМЫХ КОНУСАХ.. 11

3. ОПЕРАТОР ПРОСТОГО СЛОЯ НА ПРЯМЫХ
КОНУСАХ.. 13

4. ОТОБРАЖЕНИЕ СВОЙСТВ K И S. 14

5. ОБРАТИМОСТЬ СЛОЯ ПОТЕНЦИАЛОВ.. 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 16

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ: 17

Введение:

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в достаточно
регулярной ограниченной области может быть решена для
непрерывных граничных значений с использованием оператора потенциала двойного
слоя или
оператор потенциала простого слоя Теория потенциала восходит к работам
Лагранжа, Лапласа, Пуассона и Гаусса. Одним из основных принципов изучения
операторов потенциала слоя в постановке теории потенциала является то, что
потенциалы простого и двойного слоя представляют собой гармонические функции в значениях
его граничных данных. Более того, потенциалы слоев играют фундаментальную роль
во многих реальных задачах, особенно в физике. Например, Гаусс использовал
однослойный потенциал, чтобы найти для произвольного проводника Ω равновесное распределение заряда с
полным зарядом M.
[1] Многие другие математики внесли важный вклад в теорию потенциала, такие как
Лиувиль, Нейман, Пуанкаре, Фредгольм, Гильберт и многие другие.

В последнее время метод теории потенциала
вновь привлек к себе внимание как в теоретической, так и в прикладной
математике. Например, он играет важную роль в решении краевых задач
эллиптических уравнений, уравнения Гельмгольца, уравнения линейной упругости и
др. Он имеет приложения к электромагнитному рассеянию [2, 3, 4]. В прикладной математике для
областей с особенностями часто используются так называемые методы граничных
элементов. Преимущество этого метода заключается в том, что он уменьшает
размерность пространства дискретизации. Например, в этой постановке Бремер и
Рохин [5] разрабатывают численную процедуру построения квадратурных формул,
пригодных для эффективной дискретизации граничных интегральных уравнений на
двумерных полигональных областях. Простейшим типом кусочно-гладкой области
является область с коническими особенностями.

О методе слоевых потенциалов написано
огромное количество работ и книг. Здесь невозможно перечислить их все, но мы
хотим назвать здесь несколько, начиная с книг Куранта и Хилбера, Фоланда, Сяо И
Вендланда [6], Кресса, Маклина и Тейлора [7], которые дают довольно полный
отчет о теории гладких областей, которая к настоящему времени достаточно хорошо
изучена. Существует также много работ, посвященных методу слоевых потенциалов
на негладких областях. Эти работы можно условно разделить на две категории:
работы, посвященные Липшицевым областям, и работы, посвященные многогранным
областям (в основном полигональным). Случай Липшицевых областей на сегодняшний
день является наиболее изученным среди класса негладких областей и также
довольно хорошо изучен. Здесь также необходимо упомянуть работы Джеррисона и
Кенига, Кенига, Кенига и Пайфера [8], Медковой [9], которые дают довольно
полные результаты для областей в евклидовом пространстве. В работах Д. Митреа и
И. Митреа [10], И. Митреа и М. Митреа [11], м. Митреа и Тейлора [12], Кохра,
Пинтеа и Вендланда [13], Тейлора метод слоевых потенциалов применяется к
Липшицевым областям в многообразии.

Области с коническими точками изучались
многими авторами. В этой связи хочется упомянуть работы Кондратьева по краевым
задачам на областях с коническими точками. Большинство этих работ посвящено
построению подходящих алгебр псевдодифференциальных операторов на конических
многообразиях. Затем эти алгебраические расчеты позволяют свести изучение
краевых задач на областях с коническими точками к краевым задачам на прямых
(бесконечных) конусах и краевым задачам на гладких ограниченных областях.

Расчет псевдодифференциальных операторов , сводят некоторые вопросы о конкретных операторах на областях с
коническими точками к связанным с ними вопросам для индикаторов операторов T на некоторых ассоциированных
бесконечных конусах. Обычно (например, при доказательстве свойства Фредгольма)
приходится доказывать обратимость этих индикаторов операторов. Целью данной
работы является изучение случая прямых (бесконечных) конусов и доказательство
результатов обратимости.

Для прямых конусов мы можем использовать
подходящие дилатационные инвариантные псевдодифференцирующие операторы, которые
могут быть определены элементарно. Эти операторы часто, но не всегда, являются
простыми частными случаями операторов. Отметим также, что, хотя мы не
используем теорию псевдодифференциальных операторов на конических
многообразиях, мы ожидаем, что эта теория будет играть определенную роль в
изучении потенциала слоя на областях с коническими точками.

Достоинство использования операторов
потенциала слоя состоит в том, что они сводят проблему существования уравнения
Лапласа к обратимости любого из операторов или S. например, если граница равна C 2,
то мы можем применить классическую теорию Фредгольма к операторам и S
для решения уравнения Лапласа при или [14]. Если граница
равна только C
1,
то оператор K
все еще компактен [14] на . Однако если граница нашей области Ω не является C1, что имеет место,
например, если Ω
является многоугольником или, более широко, областью с коническими точками,
оператор потенциала двойного слоя больше не является компактным [15].
Аналогичный подход применим и к задаче Неймана для уравнения Лапласа.

Эти результаты оправдывают детальное
изучение областей с коническими точками. Нужно глубокое понимание случая прямых
конусов, чтобы успешно справиться со случаем доменов с коническими точками.

С помощью преобразования Меллина
исследуются слоевые потенциалы на конусах к изучению семейства слоевых
потенциальных операторов на основе конуса. Это позволяет установить обратимость
соответствующих слоевых потенциальных операторов на конусах путем сведения к
точечной обратимости семейства операторов на границе базиса конуса.

Заключение:

Метод теории потенциала играет важную роль
в решении краевых задач эллиптических уравнений, уравнения Гельмгольца,
уравнения линейной упругости и др. Он имеет приложения к электромагнитному
рассеянию. В прикладной математике для областей с особенностями часто
используются так называемые методы граничных элементов. Преимущество этого
метода заключается в том, что он уменьшает размерность пространства
дискретизации.

Достоинство использования операторов
потенциала слоя состоит в том, что они сводят проблему существования уравнения
Лапласа к обратимости любого из операторов или S. например, если граница равна C 2,
то мы можем применить классическую теорию Фредгольма к операторам и S
для решения уравнения Лапласа при или .

Эти результаты оправдывают детальное
изучение областей с коническими точками. Нужно глубокое понимание случая прямых
конусов, чтобы успешно справиться со случаем доменов с коническими точками.

С помощью преобразования Меллина
исследуются слоевые потенциалы на конусах к изучению семейства слоевых
потенциальных операторов на основе конуса. Это позволяет установить обратимость
соответствующих слоевых потенциальных операторов на конусах путем сведения к
точечной обратимости семейства операторов на границе базиса конуса.

В работе изучены случаи расчета
потенциалов простого и двойного слоя на примере прямых (бесконечных) конусов
разными методами, и доказаны результаты их обратимости.

Фрагмент текста работы:

1.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ

1.1.
Потенциалы слоя.

Зафиксируем Риманово многообразие M без границы. Потенциалы простого и
двойного слоя определены для любой области , граница которой достаточно регулярна, но не обязательно
гладка. Эти потенциалы слоя связаны с положительным, сильно эллиптическим
оператором и фундаментальным
решением из P. В этой статье мы просто
сосредоточимся на случае, когда P-положительный
лапласиан: P=
— ∆ и E
— его обычное фундаментальное решение.

Обозначим через пространство
псевдодифференциальных операторов порядка k на M. Предположим, что нам дана область , на которой существует заданное фундаментальное решение лапласиана. Пусть обозначает область и пусть для , а . Точнее, мы предполагаем, что нам дана гладкая функция , где -диагональ M,
такая, что для любого фиксированного y, определяется
распределение в x,
удовлетворяющее где -ядро Шварца оператора и -распределение Дирака в точке y. Тогда у нас есть как , если , в то время как если n = 2.

Предположим, что Ω-многогранная область, так что
поверхностная мера на Ω определена и что единичный
нормальный вектор к определен почти везде
относительно . Введем операторы S
и D,
отображающие функции на границе на функции на всем
пространстве . пусть ν
обозначает единичное внешнее нормальное векторное поле на . Для любой интегрируемой функции и для любого определим